Poniendo $n$ bolas en las papeleras ordenadas

Question

Tengo $n$ bolas $\{b_1,...,b_n\}$ y $m$ contenedores $\{B_1,...,B_m\}$ cuántas formas hay de colocar las bolas en las papeleras de tal manera que la bola $i+1$ está en una casilla mayor o igual que la bola $i$ ?

Por ejemplo, con $n=2$ y $m=3$ obtenemos las siguientes soluciones: $(b_1,b_2)()()$ ; $(b_1)(b_2)()$ ; $(b_1)()(b_2)$ ; $()(b_1,b_2)()$ ; $()(b_1)(b_2)$ y $()()(b_1,b_2)$ así $6$ .

Answer 1

Considera que el orden de las bolas es fijo (de la manera requerida, es decir, creciente). Ahora sólo hay que colocar espacios entre las bolas. Para $m$ contenedores, es necesario colocar $m-1$ espacios. Hay un total de $n+m-1$ objetos ( $n$ bolas y $m-1$ contenedores) y tiene que elegir $m-1$ de esos como espacios. Por lo tanto, el número de formas de hacerlo es $\binom{n+m-1}{m-1}$ .

Como el orden de las bolas es fijo, basta con utilizar la fórmula para colocar $n$ bolas idénticas en $m$ contenedores. Y cuando termines de colocarlos, ordena las bolas de izquierda a derecha en orden creciente.