cuántos pares de enteros

Question

Dados dos conjuntos $A=\{1,2,3, \ldots, 50\}$ y $B=\{1,2,3, \ldots, 60\}$ . ¿Cuántos pares de números $(a,b)$ con $a$ de $A$ , $b$ de $B$ tal que el producto de $a,$ y $b$ es divisible por 6?

Answer 1

Elijamos un número del conjunto A y luego veamos cuántos números podemos elegir del conjunto B.

Si elegimos un múltiplo de 6, hay 8 opciones posibles (6,12,...48). Así que del conjunto B, podemos elegir cualquiera de los 60 números.

Opciones aquí = $8. 60 = 480$

Ahora digamos que elegimos un múltiplo de 2 del conjunto A. Hay un total de 25, pero como ya hemos considerado 8, nos quedan 17. Para ellos, necesitamos un múltiplo de 3 del conjunto B. Hay 20 posibilidades para cada uno. Así que,

Opciones aquí = $17. 20 = 340$

Ahora elegimos un número del conjunto A que sea divisible por 3. Igualmente habrá $16-8=8$ casos, para los que hay $30$ opciones en el conjunto B.

Opciones aquí = $8. 30 = 240 $

Ahora hay $(50-8-17-8)=17$ números desconsiderados de A. Para cada uno, se necesita un múltiplo de 6 de B y así hay exactamente 10 opciones.

Opciones aquí = $17.10 = 170$

Ahora ya hemos terminado, así que resúmelos.

$480+340+240+170 = 1230$ que es su respuesta.

Answer 2

Utilicemos la inclusión-exclusión para contarlas. Hay $50\times 60$ pares $(a,b)$ en general. De estos $25\times 30$ tienen ambos $(a,b)$ impar, equivalentemente $2\nmid ab$ y $34\times 40$ tienen $3\nmid ab$ . Pero tenemos que contar esos pares con $2\nmid ab$ y $3\nmid ab$ y hay $17\times 20$ de estos. La respuesta es la siguiente $$50\times60-25\times30-34\times40+17\times20=1230.$$