¿Es el mecanismo de Higgs una transformación gauge o no? ( $U(1)$ contexto )

Question

Estoy tratando de entender la forma en que el Mecanismo de Higgs se aplica en el contexto de un $U(1)$ escenario de ruptura de simetría, lo que significa que tengo un campo complejo de Higgs $\phi=e^{i\xi}\frac{\left(\rho+v\right)}{\sqrt{2}} $ y quiere calibrar el $\xi$ campo que está causando mi término fuera de diagonal, en la ruptura de simetría normal. Presento las siguientes reglas de transformación que se mantienen para preservar la invariancia gauge local en la ruptura de simetría espontánea no 0 vev para $\rho$ :

$$ \begin{cases} \phi\rightarrow e^{i\theta}\phi\\ A_{\mu}\rightarrow A_{\mu}-\frac{1}{q}\partial_{\mu}\theta\\ D_{\mu}=\partial_{\mu}+iqA_{\mu} \end{cases} $$

Según tengo entendido, el mecanismo de fijación del gauge de Higgs se utiliza para especificar las transformaciones que el gauge $\xi$ lejos. La idea es que queremos buscar el ángulo que nos da un campo de Higgs con un grado de libertad real, como en

$$ \phi\rightarrow e^{i\theta}\phi=e^{i\theta}e^{i\xi}\frac{\left(\rho+v\right)}{\sqrt{2}}=e^{i\theta^{'}}\frac{\left(\rho+v\right)}{\sqrt{2}} $$

así que

$$\begin{cases} \phi\rightarrow e^{i\theta}\phi=e^{i\theta}e^{i\xi}\frac{\left(\rho+v\right)}{\sqrt{2}}=e^{i\theta^{'}}\frac{\left(\rho+v\right)}{\sqrt{2}}\\ A_{\mu}\rightarrow A_{\mu}-\frac{1}{q}\partial_{\mu}\theta^{'} \end{cases} $$

donde $\theta^{'}=\theta+\xi$ . Omito algunos factores de $v$ en el exponencial por el momento. Eso es lo que veo que hacen mis libros. Para $\theta^{'}=0$ esto se convierte en

$$ \begin{cases} \phi\rightarrow\frac{\left(\rho+v\right)}{\sqrt{2}}\\ A_{\mu}\rightarrow A_{\mu} \end{cases} $$ y el resto son las interacciones deseadas derivadas y los términos en general. Observo que esto no preserva la invariancia gauge local porque

$$\begin{cases} \phi\rightarrow e^{i\theta^{'}}\frac{\left(\rho+v\right)}{\sqrt{2}}\neq e^{i\theta^{'}}\phi\\ A_{\mu}\rightarrow A_{\mu}-\frac{1}{q}\partial_{\mu}\theta^{'} \end{cases} $$ Entonces, ¿esta transformación es la que hacemos o me he equivocado en algún sitio y se puede hacer correctamente mediante una transformación de calibre legítima?

Answer 1

No, has acertado. Usted calibre-transformado a la llamada calibre unitario donde las 2 partículas del complejo doblete, ahora se han reducido sólo a un componente real de la misma, mientras que la componente de fase ha mutado en una componente del campo gauge $$ \begin{cases} \phi\rightarrow\frac{\left(\rho+v\right)}{\sqrt{2}}\\ A_{\mu}\rightarrow A_{\mu} \end{cases} $$ donde "el resto" incluye un término de masa no invariante para el campo gauge Así que ahora tiene 3 componentes, no 2 por eso: ' se ha reasignado, mediante una transformación gauge, del escalar complejo al campo gauge.

Ahora se encuentra en un ancho de vía determinado: si se trasladara a otro ancho de vía, no véase estos grados de libertad como simplemente, pero, por supuesto, los resultados de las amplitudes (invariantes gauge) que calcularías serían idénticos.

Ese es el punto: la invariancia gauge permite la transición a un gauge donde el contenido físico de la teoría es más transparente.

Answer 2

Vamos a introducir un poco más de notación porque creo que te estás confundiendo con el $\to$ notación:

Dejemos que $\theta : \mathbb{R}^4\to\mathbb{R}$ sea una función cualquiera. Entonces la campos transformados gauge son \begin{align} \phi^\theta & := \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}\phi \\ A^\theta& := A - \frac{1}{q}\mathrm{d}\theta \end{align} y una transformación gauge por $\theta$ está sustituyendo a $\phi,A$ por $\phi^\theta,A^\theta$ que es lo que denota $\phi\to\phi^\theta,A\to A^\theta$ .

La invariancia gauge significa que $S[\phi,A] = S[\phi^\theta,A^\theta]$ es decir, la acción no cambia bajo una transformación gauge, y en este caso también significa $L[\phi,A] = L[\phi^\theta,A^\theta]$ . 1 Esto es válido para este Lagrangiano en un nivel abstracto.

Ahora, usted conozca que puede escribir $\phi = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\xi}\phi_0$ y se quiere expresar el Lagrangiano puramente en términos de $\phi_0$ sin tener la $\xi$ allí. Esto se logra mediante fijación de el indicador a ser $\theta = -\xi$ , ya que $\phi^{-\xi} = \phi_0$ . Como la teoría es invariante gauge, se tiene $L[\phi,A] = L[\phi^{-\xi},A^{-\xi}]$ .

Su principal problema parece ser que el l.h.s. parece seguir conteniendo $\xi$ porque el $A^{-\xi}$ contiene $\xi$ . Ese es, efectivamente, un problema que hay que arreglar. Hay dos maneras de hacerlo, por ahora sólo daré la más corta, que lamentablemente presupone $\xi$ para ser infinitesimal:

Obsérvese que para los infinitesimales $\xi$ y $\rho$ , $\phi = \phi_0 + \mathrm{i}v\xi$ . Ahora calcule el Lagrangiano $L[\phi_0+\mathrm{i}v\xi,A]$ y observe que obtiene un término parecido a 2 $\frac{1}{2}e^2v^2(A - \frac{1}{q}\mathrm{d}\xi)^2$ . Por lo tanto, si se introduce $A^{-\xi}$ efectivamente mata al $\xi$ también en los términos con $A$ ya que esto transforma el término del paréntesis en $A^2$ sin ninguna $\xi$ .

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1 En general, el Lagrangiano puede cambiar por una derivada total

2>/sup>"Parece" porque hay varias convenciones diferentes sobre el aspecto exacto de la transformación gauge y la expansión en torno al VEV, y no me inclino a rastrear cuál es la que se utiliza aquí.