Básicamente es necesario que $V$ ser completo y cocompleto (por ejemplo, es definitivamente necesario si $V$ admite cualquier objeto absorbente para su producto monoidal), así que vamos a suponerlo.
Para los límites de $V$ -para que existan categorías, esto es suficiente; de hecho, sólo es necesaria la exhaustividad. El límite de un diagrama $D:J\to V-\mathrm{Cat}$ es el $V$ -con objetos el límite de $\mathrm{ob} D(j)$ tomada en $\mathrm{Set}$ mientras que los morfismos $\mathrm{lim} D((a_j),(b_j))$ vienen dadas simplemente por el límite $\mathrm{lim} D(j)(a_j,b_j)$ tomada en $V$ . La operación de composición utiliza el mapa canónico $$\mathrm{lim} D(j)(a_j,b_j)\otimes \mathrm{lim} D(j)(b_j,c_j)\to \mathrm{lim}\left(D(j)(a_j,b_j)\otimes D(j)(b_j,c_j)\right).$$ Como este mapa canónico no existe en el caso de los colímetros, estos últimos son más difíciles.
No tengo ni una prueba ni un contraejemplo disponible en el caso de que $V$ es meramente cocompleto, pero esto es fácil de demostrar la cocompletitud en el caso de las categorías enriquecidas de forma simple, que dices que es tu principal interés. En efecto, es inmediato que la categoría de objetos simpliciales en categorías, es decir, la categoría de funtores $\mathrm{Cat}^{\Delta^{\mathrm{op}}}$ es cocompleta, ya que $\mathrm{Cat}$ es. Y las categorías enriquecidas simplificadamente pueden identificarse con la subcategoría de $\mathrm{Cat}^{\Delta^{\mathrm{op}}}$ tal que el conjunto simplicial $\mathrm{ob} C_\bullet$ de los objetos es discreta. Esta propiedad es preservada por los colímetros, lo que da lugar a colímetros para las categorías simpliciales.
Este argumento se puede generalizar sustituyendo $\Delta^{\mathrm{op}}$ con cualquier categoría pequeña $A$ y la condición de que $\mathrm{ob} C_\bullet$ sea discreta con la condición de que sea una preforma constante (de conjuntos) sobre $A$ . Entonces la cuestión es que el functor "presheaf constante" es totalmente fiel con un adjunto derecho. Para la mayoría de los demás $V$ de interés, no podremos incrustar $\mathrm{Set}$ totalmente fiel a través de un adjunto izquierdo, por lo que no podemos reducir la cuestión de los colímites de las categorías enriquecidas en $V$ a la cuestión más fácil de los colímites de las categorías internas a $V$ así. La cocompletitud debería seguir manteniéndose al menos si $V$ es monoidalmente presentable localmente, lo que hará que $V$ -monocategorías accesibles sobre $V$ -y, por lo tanto, son localmente presentables. Pero no tengo una referencia para este argumento.
