Importancia de la excepción al Teorema de Gleason cuando n = 2

Question

El famoso Teorema de Gleason afirma que las medidas (adecuadamente definidas) en la red de un espacio de Hilbert complejo pueden ser implementadas por operadores de densidad a través de la operación de trazado, excepto en el caso de que la dimensión del espacio de Hilbert sea igual a 2.

Mi pregunta es qué hacer con el caso excepcional. Más concretamente, en el caso bidimensional, ¿una medida de Gleason que no puede ser implementada por un operador de densidad corresponde a un estado cuántico físico real?

Para plantear la cuestión de otro modo, ¿debemos considerar que la definición matemática fundamental de un estado cuántico es una medida de Gleason o un operador de densidad, ya que no son exactamente lo mismo?

Answer 1

Creo que el enunciado particular del teorema de Gleason es realmente importante para dilucidar esta ambigüedad percibida. Wikipedia lo enuncia como:

Teorema. Supongamos que H es un espacio de Hilbert separable de dimensión compleja al menos 3. Entonces, para cualquier medida de probabilidad cuántica en el entramado Q de operadores de proyección autoconjuntos sobre H existe un único operador de clase de traza W tal que P(E) = Tr(W E) para cualquier proyección autoconjunta E en Q.

Apuesto a que esta es la declaración con la que la mayoría de nosotros estamos familiarizados. Sin embargo, creo que su afirmación para las álgebras C* aclara tu pregunta:

Definición. Dejemos que $\rho: \mathcal{P} \to [0, 1]$ tal que para cada familia finita $\{ P_1, ..., P_n: P_i \in \mathcal{P} \}$ de las proyecciones ortogonales por pares tenemos $\rho(\sum_{i=1}^n P_i) = \sum_{i=1}^n \rho(P_i)$ entonces $\rho$ es una medida finitamente aditiva sobre $\mathcal{P}$ .

Si la familia no es finita, sino contable, entonces $\rho$ es una medida sigma-finita.

Teorema. Si $\dim(\mathcal{H}) \neq 2$ entonces cada medida finitamente aditiva sobre $\mathcal{P}$ puede extenderse de forma única a un estado en $\mathcal{B}(\mathcal{H})$ . A la inversa, la restricción de cada estado a $\mathcal{P}$ es una medida finitamente aditiva sobre $\mathcal{P}$ .

Lo mismo ocurre con las medidas sigma-finitas y los estados normales: Toda medida sigma-finita puede extenderse a un estado normal y todo estado normal se restringe a una medida sigma-finita.

Claramente, si la dimensión de su espacio es 2, entonces su medida no puede extenderse de forma única a un estado en el conjunto de operadores acotados de su espacio de Hilbert. Aquí un estado se considera como una matriz de densidad y, por tanto, es un operador acotado en su espacio de Hilbert. Esto significa que una medida o bien tiene múltiples estados asociados a ella o bien no existe tal extensión. En el primer caso, esto significa que el conjunto de proyecciones ortogonales sobre su espacio de Hilbert no es suficiente para determinar un estado único. El primer caso no puede darse para un espacio de Hilbert proyectivo ya que la única diferencia sería una fase. Por lo tanto, el segundo caso debe ser el problema. Esto significa que existen medidas de probabilidad sobre sus proyecciones que no corresponden a un estado.

Sin embargo, creo que lo contrario es válido, para cualquier estado restringido a $\mathcal{P}$ hay una medida correspondiente finitamente aditiva. Considerando el segundo enunciado del teorema, la respuesta a su pregunta es que los "estados" son a priori objetos independientes de las medidas de probabilidad. Este teorema nos permite interpretar los estados como una medida de probabilidad, pero aparentemente no podemos tomar la medida de probabilidad como la definición de un estado en dos dimensiones. Si quieres etiquetar estados por medidas de probabilidad, no tienes suerte en dos dimensiones.

Para ver un ejemplo claro de contador, consulte esta referencia en la que he basado mi respuesta.

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Actualización del 26 de junio

Otra forma de considerar cómo debe relacionarse la medida con un estado es partir del conjunto de todos los posibles estados generales del espacio de Hilbert de 2 dimensiones y ver cómo debe ser la medida. Podemos representar un vector arbitrario en términos de la base $\{|u_1\rangle, |u_2\rangle\}$ :

$$|v\rangle = \cos(\beta)|u_1\rangle + e^{i\alpha}\sin(\beta)|u_2\rangle$$

Reconocemos que lo anterior es realmente una clase de equivalencia de vectores relacionados por una fase global. Podemos encontrar el operador de densidad para el estado puro anterior:

$$\rho_v = |v\rangle \langle v| = \left( \begin{array}{ccc} \cos^2\beta & e^{i\alpha}\sin\beta\cos\beta \\ e^{-i\alpha}\sin\beta\cos\beta & \sin^2\beta \end{array}\right)$$

Podemos escribir nuestra medida como una función continua $f_v(|u\rangle) = \langle u|\rho_v |u \rangle$ donde $|u\rangle$ es un elemento arbitrario de nuestro espacio proyectivo de Hilbert de 2 dimensiones. Eso significa que se puede expandir igual que el vector que determinó nuestro estado:

$$|u\rangle = \cos\theta|u_1\rangle + e^{i\phi}\sin\theta|u_2\rangle$$

Nuestra función se escribe como:

$$f_v(|u\rangle) = \langle u| \rho_v |u \rangle = f_v(\theta,\phi)$$

Después de algunos cálculos obtenemos que nuestra medida viene dada por:

$$\begin{align*}f_v(\theta,\phi) &= \cos^2\beta\cos^2\theta + \sin^2\beta\sin^2\theta \\ &+ 2\cos(\alpha-\phi)\sin\beta\cos(\beta)\sin\theta\cos\theta \end{align*}$$

Para los estados mixtos tenemos:

$$\rho_m = \sum_{v} p_v \rho_v$$

$$\begin{align*}f_m(\theta,\phi) &= \sum_{v} p_v\big[ \cos^2\beta_v\cos^2\theta + \sin^2\beta_v\sin^2\theta \\ &+ 2\cos(\alpha_v-\phi)\sin\beta_v \cos\beta_v\sin\theta \cos\theta\ \big] \end{align*}$$

Sin pérdida de generalidad podemos simplificar la medida para cualquier estado como

$$f(\theta,\phi) = c_{11} \cos^2\theta + c_{22}\sin^2\theta + \big(c_{12}e^{i\phi} + c_{21}e^{-i\phi}\big)\sin\theta \cos\theta$$

Lo que obtenemos son los armónicos esféricos, $Y_{0}^{0}$ y $Y_{2}^{m}$ para todos los valores admisibles de m. Esto se deduce del hecho de que nuestro producto interior es una forma bilineal. Resulta que, para cualquier función sobre espacios vectoriales reales o complejos de dimensión 3 o más, cualquier medida continua finitamente aditiva puede expandirse en términos de este conjunto de armónicos esféricos. En 3 dimensiones, todas las medidas finitamente aditivas deben ser invariantes de la rotación, por lo que los armónicos esféricos dan las transformaciones que codifican esta invariabilidad. Los armónicos esféricos están, en cierto sentido, "incorporados" a estas medidas.

En los espacios vectoriales de 2 dimensiones tenemos medidas finitamente aditivas a las que no se les exige que sean rotacionalmente invariantes en 3 dimensiones, sólo en 2 dimensiones, lo que significa que se permitirán funciones cilíndricamente simétricas. Las funciones cilíndricas simétricas incluyen $\cos(n\theta)$ por ejemplo, y por tanto no tienen expresión en términos de términos cuadráticos. Sin la restricción impuesta por la transformación bajo los armónicos esféricos, no hay manera de relacionar una forma bilineal con la medida.

Mi argumento físico para rechazar estas medidas como estados sería el siguiente: Cualquier espacio de Hilbert bidimensional que estudiemos es, con toda probabilidad, un subespacio de un espacio de Hilbert de mayor dimensión. En esos espacios estas medidas bidimensionales no estarían permitidas ya que carecen de invariancia rotacional tridimensional. Si estos estados no pueden incrustarse en un espacio mayor, entonces no pueden ser físicos.