Feynman-Kac para la difusión de saltos

Question

Estoy buscando una fórmula de Feynman-Kac más general que funcione en el caso de los procesos de difusión de saltos. Sé que, dado un proceso de difusión puro como $$dS_t=\mu_tdt+\sigma_tdW_t,$$ si $u(t,s)$ satisface la EDP $$f_t(t,s)+\mu_tf_s(t,s)+\frac{\sigma_t^2}{2}f_{ss}(t,s)-V(s)f(t,s)=0$$ con condición de terminal $f(T,s)=H(S_T)$ entonces $u$ es de la forma $$u(t,s)=\mathbb{E}\big[e^{-\int_t^T{V(S_x)dx}}H(S_T)|S_t=s\big].$$ ¿Es posible ampliar este resultado cuando la dinámica del proceso viene dada por $$dS_t=\mu_tdt+\sigma_tdW_t+\gamma_tdN_t$$ con $N$ un proceso de Poisson independiente de $W$ ?

Answer 1

Hola es posible obtener alguna fórmula de Feynman-Kac en este caso. La prueba sólo utiliza la propiedad de martingala y la fórmula de Itô para los procesos de difusión de salto.

Así que vamos a tener $X$ s.t. (tomé la versión compensada de su sde):

$dX_t=[\mu(t,X_t)+\lambda(t)\gamma(t,X_t)]dt + \sigma(t,X_t)dW_t+ \gamma(t,X_{t-})d\tilde{N}_t$ donde $\tilde{N}_t$ es un proceso de Poisson compensado de intensidad $\lambda(t)$ .

Obsérvese la dependencia explícita en $t$ y $X_t$ de la ecuación anterior que es necesaria para tener la propiedad de Markov para la solución que es necesaria para que se aplique el teorema de Feynman-Kac.

Ahora vamos a recibir $F(t,X_t)=e^{-\int_s^t V(X_r)dr}u(t,X_t)=e^{-IV(s,t)}.u(t,X_t)$ y aplicar Itô a esta fórmula. Obtendrás..:

$$dY_t=dF(t,X_t)=e^{-IV(s,t)}\Big(\big(\partial_t u(t,X_t)+\lambda(t)[u(t,X_t+\gamma(t,X_t))-u(t,X_t)]+\mu(t,X_t)\partial_x u(t,X_t)+\frac{\sigma^2(t,X_t)\partial_{xx}u(t,X_t)}{2}-V(t,X_t).u(t,X_t)\big)dt+ (u(t,X_t+\gamma(t,X_t))-u(t,X_t))d\tilde{N}_t+(\sigma(t,X_t)\partial_{x}u(t,X_t))dW_t\Big)$$

Ahora bien, si el $dt$ es nulo, entonces $Y_t$ es martingala y para $t=T$ : $$Y_s=F(s,X_s=x)=E[Y_T|X_s=x]=E[e^{-\int_s^T V(X_r)dr}H(X_T)|X_s=x]$$

Así que en este caso la PIDE que resuelve la fórmula de Feynman-Kac es : $$\partial_t u(t,X_t)+\mu(t,x)\partial_x u(t,x)+\frac{\sigma^2(t,x)}{2}\partial_{xx}u(t,x)+\lambda(t)[u(t,x+\gamma(t,x))-u(t,x)]=V(t,x)u(t,x) $$

Con la condición final $u(T,x)=H(x)$

Saludos cordiales