Demostrar que $\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{(2n+1)!!}={1\over2}$

Question

El problema. Demostrar que $$\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{3\cdot5\cdot\cdots\cdot(2n+1)}={1\over2}$$

La serie dada se puede reexpresar como $$\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{3\cdot5\cdot\cdots\cdot(2n+1)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{2^nn!n}{(2n+1)!}$$

Primero lo intenté con las series binomiales pero fue difícil cambiar la forma del binomio. ¿Podría darme algunas ideas? Gracias.

Answer 1

Una pista: $$\frac n{(2n+1)!!}=\frac12\left(\frac1{(2n-1)!!}-\frac1{(2n+1)!!}\right).$$

Answer 2

Utilice $$\frac{n}{(2n+1)!!}=\frac {1}{2}\left(\frac{1}{(2n-1)!!}-\frac{1}{(2n+1)!!}\right)$$ y la suma telescópica.

La suma necesaria es igual a $$\frac{1}{2}\lim_{n\rightarrow+\infty}\left(1-\frac{1}{(2n+1)!!}\right)=\frac{1}{2}.$$