Suma de números naturales

Question

¿Cómo se puede demostrar esto sin la inducción?

Demuestre la siguiente afirmación para una colección de números naturales $$ x_1, x_2, . . . , x_n $$ y el conjunto

$$ I = \{1, 2, . . . , n\} $$

Declaración : $$ (x_1 + x_2 + · · · + x_n) > \frac{n(n + 1)}{2} (i I, x_i > i) $$

Answer 1

Supongamos lo contrario. Entonces $\forall i, x_i\leq i$

Entonces $x_1+x_2+\dots+x_n \leq 1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$

La primera desigualdad se advierte por nuestra hipótesis de que $x_1\leq 1$ que $x_2\leq 2$ etc... y haciendo esas sustituciones simultáneamente en todo el tablero. La segunda igualdad es una identidad muy conocida que debes conocer.

Answer 2

Depende de lo que consideres que es la inducción.

Sabemos que $k + (n-(k-1)) = n+1$ así que $$2\sum_{k=1}^n k = \sum_{k=1}^n k + \sum_{k=n;-1}^1 k = \sum_{k=1}^n k + \sum_{k=1}^n (n-(k-1)) = \sum_{k=1}^n (n+1) = n(n+1)$$ .

Sin embargo, se puede argumentar que necesitamos usar la inducción para saber que la suma es conmutativa sobre múltiples términos o que la $k$ Los términos de las dos secuencias son $k$ y $n-(k-1)$ o incluso que $\sum_{k=1}^n c = n*c$ . (Al menos creo que se puede argumentar que esos requieren inducción. Puede que me equivoque, pero lo dudo).

Y como para todos $a<b$ sabemos $a +c < b+c$ podemos demostrar que $a_1 < b_1$ y $a_2 < b_2$ implica $a_1 + b_1 < a_1 + b_2 < a_2 + b_2$ . Así que si $x_k \le k$ para todos $k$ tenemos $\sum_{k=1}^n x_k \le \sum_{k=1}^n k = \frac {n(n+1)}2$ . Y nuestro resultado se demuestra por contrapositivo.

Pero probar $x_k \le k\implies \sum x_k \le \sum k$ requiere asumir la inducción.

Así que, en ese sentido, no creo que se pueda hacer sin inducción. Sin embargo, la inducción que se necesita es tan básica que no creo que la mayoría, excepto los más devotos apóstoles de Peano, la consideren una inducción.

Answer 3

¿Contrapositivo?

Si todos los $x_i$ eran menores o iguales a $i$ entonces

$$x_1+x_2 + \cdots +x_n \le 1+2+\cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$$

donde la igualdad

$$\sum_{i=1}^n i = \dfrac{n(n+1)}{2}$$

puede ser fácilmente demostrada sin inducción.

Answer 4

Si $x_i \le i$ para $i=1,2,\ldots,n$ entonces $$ x_1 + \cdots + x_n \le 1+2+3+\cdots+n = \tfrac12 n(n+1) $$ Por lo tanto, si $$ x_1 + \cdots + x_n > \tfrac12 n(n+1) $$ entonces no puede ser cierto que $x_i \le i$ para $i=1,2,\ldots,n$ . En otras palabras, debe haber algún $i \in \{1,2,\ldots,n\}$ tal que $x_i > i$ .