He leído 3 libros diferentes pero, esta condición parece encajar en todos ellos:
Es homogéneo si: $y'=f(tx,ty)=f(x,y)$
¿Es esto correcto?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Este es un sentido en el que una ecuación diferencial puede ser homogénea, pero hay que advertir que no es ni mucho menos el sentido más común, ¡que es muy diferente!
El sentido habitual de homogéneo en el contexto de las ecuaciones diferenciales es el siguiente: A lineal La ecuación diferencial ordinaria es una de la forma $$\frac{d^m}{dx^m} y(x) + A_{m - 1}(x) \frac{d^{m - 1}}{dx^{m - 1}} + \cdots + A_1(x) \frac{d}{dx} y(x) + A_0(x) y = F(x).$$ Además, es homogéneo si $F(x)$ (llamado término de origen ) es $0$ o, de forma equivalente, si $y(x) = 0$ es una solución. Una característica clave de los o.d.e.s. lineales homogéneos es que sus soluciones comprenden un espacio vectorial bajo la habitual suma y multiplicación escalar de funciones.
Vemos inmediatamente que un o.d.e. $y' = f(x, y)$ es homogénea si $f(x, y)$ es lineal en $y$ es decir, si $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0$ .
Wikipedia describe una segunda noción de homogéneo ecuaciones de primer orden que no había encontrado antes. Está más cerca de la noción que describes, pero sigue siendo distinta. Una ecuación diferencial de primer orden de la forma $$P(x, y) \,dx + Q(x, y) \,dy = 0$$ es de tipo homogéneo si $P, Q$ son funciones homogéneas del mismo grado: Una función $R(x, y)$ es homogénea de grado $m$ si $R(\lambda x, \lambda y) = \lambda^m R(x, y)$ . Reordenando, podemos reescribir dicha ecuación (ignorando los lugares donde $Q$ toma el valor cero) como $$\frac{d}{dx} y(x) = -\frac{P(x, y)}{Q(x, y)},$$ y el lado derecho satisface $$-\frac{P(\lambda x, \lambda y)}{Q(\lambda x, \lambda y)} = -\frac{\lambda^m P(x, y)}{\lambda^m Q(x, y)} = -\frac{P(x, y)}{Q(x, y)},$$ por lo que cualquier ecuación diferencial de primer orden de tipo homogéneo puede ponerse en la forma indicada.
A la inversa, podemos reescribir la ecuación dada $y' = f(x, y)$ como $$-f(x, y) \,dx + dy = 0,$$ y ambos coeficientes son homogéneos de grado cero, por lo que considerar la ecuación dada como una de tipo homogéneo, y por lo tanto la noción en la pregunta está de acuerdo con la noción de tipo homogéneo , al menos hasta el conjunto cero de $Q$ .
