¿Las transformaciones de Möbius son holomorfas o meromorfas?

Question

En mi pregunta anterior me señalaron que un "automorfismo" de la línea proyectiva/esfera de Riemann (=que es una transformación de Möbius) es una biyección que es meromorfo en la coordenada local z.

Como no conocía las transformadas de Möbius intenté buscar información sobre ellas y entonces en Wikipedia sobre Möbus transofmrs se afirma que las transformaciones de Möbius son exactamente las biyectivas mapas conformados de la esfera de Riemann a sí misma.

Pero también se dice que es un biyecto holomorfo de la esfera de Riemann a la esfera de Riemann.

Entiendo que la meromorfa es más débil que la holomorfa pero no me queda claro donde encaja la conformal. Pero sobre todo no me queda claro cuál de ellas es la correcta.

Mientras intentaba averiguar cuál de estas 3 descripciones es la correcta me descubierto que todo transofrma de Möbius se puede componer en traslaciones, escalamientos y $z \mapsto 1/z$ . Entonces tal vez usando esta composición, si $1/z$ es holomorfa entonces también lo es la transformada de Möbius?

¿Es una transformación de Möbius holomórfica (o simplemente meromórfica o conforme) en la esfera de Riemann?

y

Es $1/z$ holomorfo en la esfera de Riemann?

Answer 1

Una transformación de Möbius genérica es una función meromórfica en $\mathbb{C}$ y un mapa holomórfico de la esfera de Riemann sobre sí misma. Aquí hay una diferencia entre "función" y "mapa".

• Función holomórfica: una función con valores en $\mathbb{C}$ que se representa localmente por su serie de Taylor
• Función meromorfa: una función con valores en $\mathbb{C}$ que se representa localmente por su serie de Laurent con un número finito de potencias negativas
• Mapa holomórfico: un mapa entre variedades complejas tal que las composiciones apropiadas con mapas gráficos son holomórficas.

Cuando la esfera de Riemann está dotada de la estructura de una variedad compleja, una vecindad de $\infty$ está cubierto por el parche de coordenadas $z\mapsto 1/z$ . Una función con un polo califica como un mapa holomórfico en la esfera, porque en un punto $a$ donde $f(a)=\infty$ la composición con el mapa gráfico anterior es $1/f$ (que es holomorfo).