O, en otras palabras, ¿por qué no todos funciones sobreyectiva? ¿No es cualquier subconjunto de los codominios que no es parte de la imagen algo arbitraria?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Francesco Turco
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208
Hasta donde yo sé, las relaciones se pueden definir de dos maneras:
- Dados dos conjuntos a$A$$B$, cualquier subconjunto $R$ $A\times B$ es una relación. El dominio es $\{x\in A:\exists y(y\in B,(x,y)\in R)\}$. El codominio es $\{y\in B:\exists x(x\in A,(x,y)\in R)\}$. Obviamente el dominio es un subconjunto de a $A$ y el codominio es un subconjunto de a $B$. No toda relación es surjective.
- Cada conjunto que sólo contiene los pares ordenados es una relación. El dominio es $\{x\in\bigcup\bigcup R:\exists y((x,y)\in R)\}$. El codominio es $\{y\in\bigcup\bigcup R:\exists x((x,y)\in R)\}$. Cada relación es surjective.
Mi preferido definición es el primero, pero puede que te guste el segundo lugar.
Chris
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133
Esto es algo que los viajes de las personas, más que habitan en él. Y dependiendo de cómo le gusta pensar acerca de los objetos matemáticos, que tienen diferentes preferido respuestas.
Más a menudo que no, tiendo a pensar de una función como la que consiste en tres cosas: un dominio $A$, un rango de $B$ y un subconjunto $S$ $A \times B$ que satisface esta condición, que para cualquier $a \in A$ hay un único, $b \in B$ tal que $(a,b) \in S$. Para ser precisos, una "función" $f$ es un triple $(A,B,S)$ donde $S \subset A\times B$ satisface el criterio anterior. Podemos decir $f : A \to B$$f(a) = b$$(a,b) \in S$.
En el anterior formalismo, no se puede describir con una función sin especificar el dominio y el rango de ante mano. Para ser más específicos, aquí hay dos formas diferentes de la especificación de la función que en una clase de cálculo sería llamado $x^2$: $f=(\mathbb R, \mathbb R, \{(x,x^2) : x \in \mathbb R\})$. $g=(\mathbb R, [0,\infty), \{(x,x^2) : x \in \mathbb R\})$. Así que en este formalismo, $f$ no es una en la función, mientras que $g$ es un a función. A pesar de $f(x)=g(x)$ todos los $x$ en el dominio de $f$ y $g$, $f \neq g$ ya que tienen diferentes rangos.
Si usted no usa un formalismo como la de arriba, sí, el rango (o co-dominio como usted dice) es cualquier conjunto arbitrario que contiene la imagen. Con frecuencia esto se realiza considerando el rango de ser un típico "universal". En un curso de cálculo lo que pasa es que la gente realmente nunca mencionar el rango, que sólo habla de la imagen.
YequalsX
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320
Aquí hay una respuesta que se dirige directamente a la pregunta del título: el codominio tiene que ser dada como parte de la información sobre lo que las funciones es; no puede ser deducido (o en el idioma de la pregunta, "definido") si todos saben es el dominio y los valores de la función. Es una pieza extra de datos. (Esta es la razón por la que parece arbitrario para usted; usted está pensando acerca de cómo determinar el codominio de los otros datos, que no se puede hacer! Usted tiene que ser dicho lo que es, como parte de la descripción inicial de la función).
La primera nota que esto es incompatible con una definición tradicional de una función como un conjunto de pares ordenados. El conjunto de pares ordenados definición determina el dominio y los valores de la función, pero no el codominio. (Supongo que algunas personas hacen uso de esta definición de la función; para ellos, una función no tiene un codominio separado de su imagen).
Para definir una función que tiene un dominio y codominio, uno en su lugar, debe utilizar el esquema de descrito por Ryan: una función es un triple (el dominio $A$, codominio $B$, el conjunto de elementos de $A\times B$ la determinación de sus valores).
En cuanto a por qué se introduce el concepto de codominio, Qiaochu la respuesta se describe este.
Andor
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328
En el mismo sentido se podría preguntar por qué todas las funciones no son el total de funciones. La verdadera pregunta es, quizás, "¿cuál es el uso de la escritura $f:\ S\rightarrow T$" o incluso más general de "¿cuál es el uso de la escritura "$v \in S$"?
Yo esperaría que en la mayoría de los casos en donde se mencione explícitamente es una manera de decir "este objeto pertenece a esta clase de objetos" y se hace porque pertenece a esa clase de alguna manera es considerada relevante o útil en ese momento. Esto puede sonar un poco obvio, pero creo que no hay mucho más a él.
A menudo lo que es importante es que no funciona, pero las colecciones de funciones, especialmente los subconjuntos del conjunto de funciones entre dos conjuntos de $X$$Y$, algunos de los cuales serán surjective y algunos de los que no. Lo que también no consigue destacó mucho en el nivel de primaria de la teoría de conjuntos es la estructura de composición de funciones, por ejemplo, una función de $f : X \to Y$ puede ser integrado con una función de $g : Y \to Z$ para dar una función de $fg : X \to Z$. Para los propósitos de estudio de esta estructura de composición (por ejemplo, si $X = Y = Z$) es generalmente importante no requieren que $f$ $g$ ser surjective o que se pierda en la estructura.
Por ejemplo, una forma sencilla de definir un sistema dinámico es sólo como una función de $f : X \to X$. Si $f$ es surjective o no, es un aspecto importante de la clasificación de la dinámica de $f$, o en otras palabras de clasificar el comportamiento de las secuencias de $\{ x, f(x), f^2(x), f^3(x), ... \}$ varios $x$. Esta secuencia no está bien definido si se pretende que el dominio y el codominio de $f$ son diferentes sólo porque el rango y el codominio no son iguales.
Esta es otra manera de decir que una función realmente se compone de tres conjuntos de datos (un dominio, codominio, y la asignación de uno a otro), pero la razón por la que estos tres partes de información que son todos importantes es realmente la estructura compositiva.
