Si dos grupos finitos tienen el mismo número de elementos del mismo orden, ¿implica esto necesariamente que son isomorfos?

Question

Estoy tratando de demostrar una cuestión bastante difícil y he llegado a una pequeña prueba que puedo demostrar que es verdadera después de analizar a fondo (y exhaustivamente) la estructura del grupo.

Mi pregunta es, si dos grupos finitos tienen el mismo número de elementos del mismo orden... ¿son necesariamente isomorfos? Si no es así, ¿cuáles son algunas propiedades de la estructura del grupo que pueden mostrar que dos grupos son necesariamente isomorfos?

Answer 1

En general, los grupos finitos del mismo orden no son isomorfos. De hecho, esto dista mucho de ser cierto. Así, por ejemplo, hay 49 487 365 422 grupos no isomorfos de orden $1024$ . Esto es mucho. Por otro lado, dos grupos cíclicos del mismo orden son efectivamente isomorfos.

Edición: La pregunta ha sido cambiada ahora, preguntando por el orden de los elementos. Esto ya se ha respondido aquí (ver el duplicado).