Partícula moviéndose en una elipse con el origen en el foco

Question

Estoy leyendo el libro "An introduction to Celestial Mechanics" de Forest Ray Moulton. En el primer capítulo, me he atascado en el siguiente problema:

Una partícula se mueve en la elipse cuyo parámetro y excentricidad son $p$ y $e$ con velocidad angular uniforme respecto a uno de los focos como origen; Hallar las componentes de la velocidad y la aceleración a lo largo y perpendicular al radio vector y paralela al $x$ y $y$ -en función del radio vector y del tiempo.

Después de batallar un tiempo con ello, miré la primera línea de la respuesta para obtener algo de ayuda. La empieza con $$v_r=\frac{ec}{p}\cdot r^2sin(ct), \quad \theta=ct$$ lo que me desconcertó. Intenté comenzar con la siguiente relación $$\frac{d\theta}{dt}=c_1=constant\Rightarrow \theta=c_1t+c_2$$ pero no pudo avanzar más...

Mi pregunta es: ¿Cuál es un buen enfoque para derivar el vector de posición cuando el origen está en uno de los focos? Se agradece cualquier ayuda.

PD: ¿Qué demonios es un "parámetro" de una elipse? Nunca he oído hablar de ello.

Answer 1

Comience con la siguiente ecuación de coordenadas polares para una elipse con foco en el origen:

$$r=\frac{p}{1+e\cos\theta}.$$

Nota: El parámetro $p$ se suele escribir en términos del semieje mayor $a$ y la excentricidad $e$ como $p=a(1-e^2)$ . Otro nombre para $p$ es el recto semilatino .

Diferencie para encontrar la expresión de Moulton para $v_r=\dot r$ Y a partir de ahí.