Necesito encontrar un ejemplo de un operador lineal acotado que tenga una inversa discontinua.
Sé que ese operador existe. Pero no encuentro un ejemplo concreto.
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Severin Schraven
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Dejemos que $c_{00}=\{ (x_n)_{n\in \mathbb{N}} \subseteq \mathbb{R} \ : \ \text{only finitely many elements are nonzero} \}$ . Entonces el operador
$$ A: c_{00} \rightarrow c_{00}, (x_n)_{n\in \mathbb{N}} \mapsto \left(\frac{1}{n} x_n \right)_{n\in \mathbb{N}} $$
es una biyección y tiene norma de operador 1. Sin embargo, la inversa no tiene límites.
Tome un espacio vectorial $V$ con dos topologías sobre ella (satisfaciendo axiomas adicionales razonables si se quiere), una de las cuales es un refinamiento estricto de la otra (por ejemplo, convergencia uniforme y $L^2$ convergencia en $C([0, 1])$ ), y tomar el operador de identidad $V \to V$ donde la copia de origen de $V$ tiene la topología más fina y la copia de destino de $V$ tiene la topología más gruesa.
David C. Ullrich
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user81375
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Intentaré dar una versión "continua" del post de Severin Schraven. Los que estén familiarizados con las series de Fourier verán la analogía.
Dejemos que $X$ sea el espacio vectorial de los polinomios trigonométricos con frecuencias positivas, considerado como un subespacio de $C([0,1])$ . En otras palabras, $X = \text{span}\{e_{n} \, \mid \, n \in \mathbb{N}\}$ , donde $e_{n} : [0,1] \to \mathbb{C}$ viene dada por $$e_{n}(x) = e^{i 2 \pi n x}.$$
A continuación, defina $A : X \to X$ por $$[A(f)](x) = \int_{0}^{x} f(s) \, ds - \int_{0}^{1} \int_{0}^{x} f(s) \, ds \, dx.$$ Se puede comprobar que está bien definida (es decir, que se corresponde con $X$ ). De hecho, $A(e_{n}) = \frac{1}{i 2 \pi n} e_{n}$ para que esto sea como el ejemplo de Severin. Esto también demuestra que $A$ es invertible y tiene norma $1$ .
Hay muchos otros ejemplos similares. Piense en $C^{\infty}_{c}((0,1])$ es decir, funciones suaves sobre $(0,1]$ con soporte compacto. Deja que $A : C^{\infty}_{c}((0,1]) \to C^{\infty}_{c}((0,1])$ sea dada por $$[A(f)](x) = \int_{0}^{x} f(s) \, ds.$$ Debido a la suposición de soporte compacto, esto está bien definido y es invertible. El mismo ejemplo funciona si sustituimos $C^{\infty}_{c}((0,1])$ por $\{f \in C^{\infty}([0,1]) \, \mid \, \forall t \in [0,\epsilon] \, \, f(t) = 0\}$ para algunos $\epsilon \in (0,1)$ .
