Un agricultor desea emplear a recolectores de manzanas durante la cosecha

Question

Vuelvo a tener problemas, esta vez con el problema de palabras de abajo.

Ahora, lo único que tengo es una ecuación para la parte B y una suposición sobre la respuesta de la parte A, y no estoy seguro de que ninguna sea correcta.

Para la parte C, creo que necesito tomar $C_p$ y $C_h$ y ponerlos a cero para encontrar los valores de $p$ y $h$ (como se intenta a continuación), pero no estoy seguro.

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Las preguntas

Un agricultor desea emplear a recolectores de manzanas durante la cosecha. Cada recolector puede cosechar $625$ manzanas por hora y se paga $\$ 6 $ per hour. In addition, the farmer must pay a supervisor $\$10$ por hora y el sindicato $\$ 10 $ for each picker employed. Finally, if $ v $ apples are picked, then a service charge of $\$\frac{50,000}{\sqrt{v}}$ se le impone al agricultor.

a. Explique brevemente por qué la tasa de $\$ \frac{50.000}{{sqrt{v}}$ motiva al agricultor a contratar un número adecuado de recolectores.

b. Establezca una función que represente el coste total del agricultor.

c. Encuentre el número de recolectores de manzanas que deben emplearse para minimizar el coste del agricultor.

d. Encuentra el número de manzanas que se recogerían con este coste mínimo.

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Mis respuestas

a . La tasa motiva al agricultor a contratar un número adecuado de recolectores porque, a medida que aumenta el número de manzanas recogidas, disminuye el importe de la tasa de servicio.

b. Donde $p$ es el número de recolectores y $h$ es el número de horas, $$C = 6ph + 10h + 10p + \frac{50,000}{\sqrt{v}}$$ $$= 6ph + 10h + 10p + \frac{50,000}{\sqrt{625ph}}$$ $$= 6ph + 10h + 10p + \frac{2,000}{\sqrt{ph}}$$

c. $$C_p = 6h + 10 - \frac{1,000}{p^{3/2}\sqrt{h}} = 0$$ $$10 = \frac{1,000}{p^{3/2}\sqrt{h}} - 6h$$ $$C_h = 6p + 10 - \frac{1,000}{h^{3/2}\sqrt{p}} = 0$$ $$10 = \frac{1,000}{h^{3/2}\sqrt{p}} - 6p$$ $$\frac{1,000}{p^{3/2}\sqrt{h}} - 6h= \frac{1,000}{h^{3/2}\sqrt{p}} - 6p$$ $$\frac{1,000}{p^{3/2}\sqrt{h}} - \frac{1,000}{h^{3/2}\sqrt{p}} = 6h - 6p$$ Y desde aquí, estoy perdido.

Answer 1

Tienes dos ecuaciones en dos incógnitas $$10 = \frac{1,000}{h^{3/2}\sqrt{p}} - 6p\\\frac{1,000}{p^{3/2}\sqrt{h}} - \frac{1,000}{h^{3/2}\sqrt{p}} = 6h - 6p$$ Si se combinan los términos en el segundo, se obtiene $$\frac {1000(h-p)}{(ph)^{3/2}}=6(h-p)\\6(ph)^{3/2}(h-p)={1000}(h-p)$$ Si asume $h \neq p$ puedes usar esto para sustituir a la primera y obtienes $10=0$ , por lo que debe tener $h=p$ . Entonces, al conectar con el primero se obtiene $6p^3+10p^2=1000$ , con solución $p=5=h$ .

Answer 2

De momento tiene buena pinta. Para la parte c, debes encontrar el valor mínimo de la función, que no será cuando $p=0$ y $h=0$ porque estarías dividiendo el último término de la función entre cero.

Una vez que se conozca el valor mínimo de la función, se sabrá cuántos recolectores y cuántas horas trabajan, con lo que se podrá hallar el número de manzanas recogidas para la parte d.

Answer 3

No entiendo lo que preguntas pero:

Si quiere minimizar $C(h,p) = C_h + C_p $ simplemente hazlo: $$ \nabla C(h,p) = 0 $$

Answer 4

Parece que estás en el camino correcto. Sabes que tu mínimo posible es cuando ambas derivadas parciales son cero. Creo que estás haciendo el álgebra demasiado difícil. Cuando fijas Cp = 0 tienes una ecuación de dos variables. Del mismo modo, cuando fijas Ch =0 tienes una ecuación de dos variables. Intenta plantear p en términos de h en cada ecuación. Va a ser feo.

Es posible que tengas que revisar tu función de costes en B. ¿Cómo se ve si sacas el radical del denominador? ¿Cómo se ven las derivadas parciales?