Pregunta sobre una medida exterior de un subconjunto real

Question

Dejemos que $B$ sea un subconjunto de los números reales, y sea $\mu$ sea una medida exterior, y que $A$ sea la unión de un número finito de intervalos reales. Tengo que demostrar que $\mu(B)=\mu(B\cup A)+\mu(B\cap A^c)$ , donde $A^c$ es el complemento de $A$ con respecto a los números reales. Sé que $$B=(B\cap A)\cup (B\cap A^c)$$ y así, por subaditividad de la medida exterior, $$\mu(B)\le\mu(B\cup A)+\mu(B\cap A^c)$$ Necesito ayuda para probar $$\mu(B)\ge\mu(B\cup A)+\mu(B\cap A^c)$$

Answer 1

No es cierto. Considere la medida exterior $$ \mu(E)=\begin{cases} 1,&\ E\text{ is uncountable}\\0,&\ E\text{ is countable}\end{cases} $$ Entonces, con $B=[0,1]$ , $A=[0,2]$ , usted tiene $$ \mu(B)=1 <2=\mu(B\cap A)+\mu(B\cap A^c). $$