Categorías derivadas y categorías de homotopía

Question

Hay dos construcciones que se parecen bastante a mí: la categoría derivada de una categoría abeliana, y la categoría homotopía de una categoría modelo. ¿Existe alguna relación explícita entre estas dos construcciones? (Esta pregunta está relacionada con, y de hecho la inspiración para, una de mis preguntas anteriores.)

Answer 1

Sí, el primero es un caso especial del segundo. Hay una estructura de categoría modelo en la categoría de (digamos limitada) complejos de cadena de objetos en su categoría abeliana dada. Las equivalencias débiles son los cuasi isomorfismos, y la categoría homotopía es la categoría derivada.

En el caso de los módulos R, para un anillo R, esto se explica en detalle en este documento por Dwyer-Spalinski.

Answer 2

Ambos dan lugar a derivados, y de hecho pensar en las teorías de la homotopía como categorías derivadas no-abelianas es lo que llevó a Grothendieck a presentar entonces (tenga en cuenta que Heller y Franke independientemente idearon derivados, pero no estoy seguro de que tuvieran la misma motivación)

Answer 3

Parte de la información se puede encontrar en nLab: categoría homotopía. Siguiendo los enlaces allí también encontrará información sobre todas las otras palabras clave mencionadas anteriormente.

Urs Schreiber

Answer 4

Creo que no quieres ninguna condición limitada. No veo cómo la categoría de complejos de cadena con cohomología acotada podría ser una categoría modelo. No tiene todos los colimites pequeños; solo toma complejos de cadena más y más largos con diferenciales triviales, y obtienes algo con cohomología ilimitada.