Discontinuidad de la función de Thomae en $\mathbb{Q}$

Question

Sé que hay muchas respuestas para esta pregunta. Yo había leído casi todas las respuestas y tratar de obtener argumentos Pero algo que falta en cada vez. He estado atascado en este problema desde hace medio día pero no lo entiendo. Por favor, ayúdeme en este sentido.
Dejemos que $f$ definirse en $[0,1]$ ;

$$\begin{align} f(x) = \begin{cases} 0 & \text{if $x$ is irrational}\\ \frac{1}{q} & \text{if $x = \frac{p}{q}$ where $(p,q) = 1$ and $q$ > 0}. \end{cases} \end{align}$$
Para los números racionales, considero una secuencia de puntos irracionales $x_n$ convergiendo a algún número racional digamos $m/n$ .
Si esta función es continua para cualquier racional digamos $m/n$ entonces esto debe sostenerse: $\forall \epsilon >0$ , $\exists \delta>0$ tal que $|1/n|<\epsilon$ siempre que $|x_n-m/n|<\delta$ .
Pero para cualquier $m/n,1/n$ no tiene por qué ser pequeño. Por lo tanto, la función es discontinua en los puntos racionales.

Para los puntos irracionales, considere la secuencia racional $y_n$ convergiendo a $a$ , número irracional. Considere $y_n \to a$ por lo tanto $\forall \epsilon >0$ , $\exists N$ tal que $|y_n-a|<\epsilon$ $\forall n>N$
En caso de que la función sea continua en $a$ entonces debe satisfacer lo siguiente
$\forall \epsilon >0$ , $\exists \delta>0$ de tal manera que $f(y_n)$ |< $\epsilon$ siempre que $|y_n-a|<\delta$ .
Quería hacer que $f(y_n)$ pequeño para eso $y_n$ en los alrededores de $a$ De esto no soy capaz de convencerme de las últimas respuestas.

Esto no es un duplicado, ya que especifiqué mi problema particular con esta prueba. Por favor, ayúdeme.

Answer 1

Dejemos que $x$ ser irracional. $\epsilon>0$ . Sabemos que hay un número finito de $q\in\mathbb{N}$ tal que $\frac{1}{q}\geq \epsilon$ . También sabemos que para cada uno de esos $q$ hay un número finito de $p\in\mathbb{Z}$ tal que $|x-\frac{p}{q}|<1$ porque $-q+qx<p<q+qx$ para un número finito de $p\in\mathbb{Z}$ .

Esto significa que hay un número finito de $\frac{p}{q}\in\mathbb{Q}$ con $\text{gcd}(p,q)=1$ tal que $|x-\frac{p}{q}|<1$ y $f(\frac{p}{q})=\frac{1}{q}\geq \epsilon$ por lo que llamamos a este conjunto (finito) $R$ (el conjunto de estos racionales elegidos), y podemos tomar $\delta=\frac{1}{2}\min_\limits{r\in R}\{1,|x-r|\}$ . Este $\delta$ se asegura de que desechemos este tipo de racionales que tienen $\frac{1}{q}\geq \epsilon$ .

Así que para $|x-\frac{p}{q}|<\delta$ con $\text{gcd}(p,q)=1$ tenemos $|f(\frac{p}{q})|=\frac{1}{q}< \epsilon$ . Por lo tanto, $f$ es continua en los irracionales.

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Observación: Hemos visto que hay un número finito de $\frac{p}{q}$ con $p\in\mathbb{Z}$ y $q\in\mathbb{N}$ tal que $|x-\frac{p}{q}|<1$ y $f(\frac{p}{q})=\frac{1}{q}\geq \epsilon$ . Ahora añadiendo la restricción $\text{gcd}(p,q)=1$ nos da aún menos de estos racionales, por lo que de estos también hay finitamente muchos.