¿Encontrar la función generadora?

Question

¿Cómo puedo encontrar una función generadora para el siguiente término matemático?

$$ a_r = \left(\matrix{2r \\ r}\right) $$

¿Es el $\dfrac{r!}{2r(2r-r)!} = \dfrac{(2r-1)\cdot(2r-2)\cdot\ldots\cdot 1}{r\cdot(r-1)\cdot(r-2)\cdot\ldots\cdot1}$ ?

Answer 1

Esto es sólo $(1 - 4 z)^{- 1/2}$ . Puedes comprobarlo: \begin{align} \binom{-1/2}{k} &= \frac{(-1/2) (-1/2 - 1) \ldots (-1/2 - k + 1)}{k!} \\ &= (-1)^k \frac{3 \cdot 5 \dotsm (2 k - 1)}{2^k k!} \\ &= (-1)^k \frac{1}{2^{2 k}} \frac{(2 k)!}{k! k!} \\ &= (-1)^k \frac{1}{2^{2 k}} \binom{2 k}{k} \end{align} Utiliza esto para ampliar la potencia dada.

Answer 2

Sea la función generadora $G(x)$ para las siguientes series. Ahora en $xG(x)'$ su coeficiente de $x^r$ es $\frac{2(2r+1)2r!}{(r+1)!(r+1)!}$ que puede escribirse como $\frac{2(2r+2)2r!}{(r)!(r)!}-\frac{2(1)2r!}{(r)!(r)!}$ . El segundo término es $2G(x)$ y la primera es la diferenciación de $xG(x)$ multiplicado por 2. Esto dará una ecuación diferencial para la función generadora.