¿Ni Biot-savart ni la Ley de Ampere pueden resolver este problema?

Question

Estoy confundido sobre el uso de la Ley de Ampere y la Ley de Biot-Savart debido a la inconveniencia de cada ley.

Quiero calcular el campo magnético debido a la corriente que lleva una espira circular sobre sí misma, es decir, no el campo magnético fuera de la espira sino $B$ sobre el bucle. Para ello, utilizo las dos leyes:

1. Ley de Ampere

En él se indica que: $$\oint B\cdot dl = \mu_0 I$$

El problema de la Ley de Ampere es que $B$ está dentro de la integral, por lo que para resolver $B$ Necesito usar una línea cerrada $L$ , de tal manera que $B$ que no depende de $dL$ . En ese caso:

$$\oint B\cdot dl = \mu_0 I$$ $$B \oint dl = \mu_0 I$$ $$B = \frac{\mu_0 I}{L}$$

Pero, ¿qué tipo de trayectoria $L$ ¿debo elegir?

2. Ley Biot Savart

Que la trayectoria: $$c(\theta) = R(\cos\theta\hat i + \sin\theta\hat j)$$ $$dc(\theta) = R(-\sin\theta\hat i + \cos\theta\hat j)d\theta$$

El campo magnético en el punto $c(t)$ es:

$$ dB = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Idc\times r}{|r|^3}$$ $$ B(t) = \int_0^{2\pi}\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Idc\times (c(t)-c(\theta))}{|c(t)-c(\theta)|^3}$$ $$ B(t) = \int_0^{2\pi}\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{IR(-\sin\theta\hat i + \cos\theta\hat j)d\theta\times R((\cos t-\cos\theta)\hat i+(\sin t-\sin\theta)\hat j)}{|R((\cos t-\cos\theta)\hat i+(\sin t-\sin\theta)\hat j)|^3}$$ $$ B(t) = \int_0^{2\pi}\frac{\mu_0I}{4\pi R}\frac{(-\sin\theta \sin t+\sin^2\theta - \cos\theta \cos t +\cos^2\theta)\hat k}{\sqrt{\cos^2 t-2\cos t\cos \theta+\cos^2\theta+\sin^2 t-2\sin t\sin\theta+\sin^2\theta}^3}d\theta$$ $$ B(t) = \int_0^{2\pi}\frac{\mu_0I}{4\pi R}\frac{1-\cos(t-\theta)}{(2(1-\cos(t-\theta)))^{3/2}}d\theta\hat k$$ $$ B(t) = \frac{\mu_0I}{8\sqrt{2}\pi R}\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{\sqrt{1-\cos(t-\theta)}}\hat k$$

Esta integral tiende a infinito, porque en algún punto $t$ (es decir $c(t)$ es un punto del bucle circular) tiende a $\theta$ y el denominador se convierte en 0. Por lo tanto, es imposible calcular el campo magnético sobre la propia espiral.

Y creo que la razón principal de esto es que en la ley Biot-Savart el $r$ está en el denominador, así que cuando intento calcular el campo magnético muy cerca de la corriente, este $r$ tiende a cero y el campo magnético tiende a infinito.

Si intento este cálculo con la fórmula de los volúmenes ( $ B = \int_V \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Jdv\times r}{|r|^3}$ ) el problema persiste debido a la $r$ está en el denominador y el campo magnético cerca de algún punto $dv$ tenderá a infinito porque $r$ tiende a cero.

¿Cuál es la forma de hacer este cálculo?

Answer 1

Utilizando la ley de Biot Savart o de Ampere se llega al mismo problema $B$ no es definido en el anillo.

Este es el mismo problema que tratar de encontrar el campo eléctrico $E$ de una carga puntual justo en el punto donde se coloca la carga $1/r²$ se convierte en $\infty$ ...

Hay que utilizar la fórmula de los volúmenes pero utilizando la densidad de corriente superficial $J$ e integrando en un toroide, entonces el campo magnético está bien definido. Obsérvese que:

$\frac{\mu_0}{4\pi}\int_V \frac{Jdv\times r}{|r|^3}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_V \frac{4\pi r² d\Omega dr J\times r}{|r|^3}=\mu_0\int_V \frac{J\times u_r r³ d\Omega dr }{|r|^3}=\mu_0\int_V J\times u_r d\Omega dr$

Por lo tanto, incluso si $r \to 0$ el $\infty$ no aparece.

El problema es que resolver integrales de volumen es más complicado que usar una recta... pero en este caso no encuentro una opción mejor.

Answer 2

Bueno... Debo ser cuidadoso con la notación, primero empezar a describir el toro que es horizontal y tal que el origen se encuentra dentro de él:

$x_t=\mathrm{sin}\left( \alpha_1\right) \,\left( R+\mathrm{cos}\left( \beta_1\right) \,u\right) $

$y_t= \mathrm{cos}\left( \alpha_1\right) \,\left( R+\mathrm{cos}\left( \beta_1\right) \,u\right)$

$z_t = \mathrm{sin}\left( \beta_1\right) \,u$

Para $-\pi/2<\alpha_1\le \pi/2$ , $-\pi/2<\beta_1\le \pi/2$ y $0 \le u \le a$ donde $R$ es el radio del toro y $a$ su anchura. Entonces un punto se encuentra dentro del toro si:

$(\sqrt{(R+x)^2+y^2}-R)^2+z^2 \le a^2$

Y la densidad de corriente $||J||=\frac{I}{\pi a^2}$ puede señalar la dirección en la que $\alpha_1$ crece, es decir $u_{\alpha}=[\frac{dx_t}{d \alpha},\frac{dy_t}{d\,\alpha},\frac{dz_t}{d\,\alpha}]=[-y_t,x_t+R,0]$ así que finalmente

$J=||J|| \frac{u_{\alpha}} {||u_{\alpha}||}=\\ =\begin{cases} [-\frac{y\,I}{2\,\pi \,{a}^{2}\,\sqrt{{\left( R+x\right) }^{2}+{y}^{2}}},\frac{I\,\left( R+x\right) }{2\,\pi \,{a}^{2}\,\sqrt{{\left( R+x\right) }^{2}+{y}^{2}}},0] &\mbox{if } \sqrt{(R+x)^2+y^2}-R)^2+z^2 \le a^2 \\ 0 & Otherwise. \end{cases}$

Supongamos que se quiere calcular el campo magnético en el origen, para evitar el problema con $1/r^2$ podemos utilizar coordenadas esféricas:

$x=\mathrm{cos}\left( \alpha\right) \,\mathrm{sin}\left( \beta\right) \,r$

$y=\mathrm{cos}\left( \alpha\right) \,\mathrm{cos}\left( beta\right) \,r$

$z=\mathrm{sin}\left( \alpha\right) \,r$

Entonces debes reescribir las expresiones anteriores en términos de las nuevas coordenadas y aplicar la ley de Biot Savart... Además si consideras la simetría del problema sabes que $B_x=B_y=0$ y antes de algunos largos cálculos la expresión para $B_z$ es la siguiente:

$B_z=\mu_0I\int\limits_0^{2R+a}\int\limits_0^\pi\int\limits_0^{2\pi} {G \frac{\sqrt{R+\left( \mathrm{sin}\left( \beta\right) \,\mathrm{cos}\left( \alpha\right) -\mathrm{cos}\left( \beta\right) \,\mathrm{cos}\left( \alpha\right) \right) \,r}\,\left( \mathrm{sin}\left( \beta\right) \,{\mathrm{cos}\left( \alpha\right) }^{2}\,R+{\mathrm{cos}\left( \alpha\right) }^{3}\,r\right) }{8\,\pi \,{a}^{2}\,\pi\,R+\left( 8\,\pi \,\mathrm{sin}\left( \beta\right) \,{a}^{2}\,\mathrm{cos}\left( \alpha\right) -8\,\pi \,\mathrm{cos}\left( \beta\right) \,{a}^{2}\,\mathrm{cos}\left( \alpha\right) \right) \,\pi\,r} dr d\alpha d\beta}$

Donde $G(\alpha,\beta,r)=$

$\begin{cases} 1 &\mbox{if } {\left( \sqrt{{\left( R+\mathrm{cos}\left( \alpha\right) \,\mathrm{sin}\left( \beta\right) \,r\right) }^{2}+{\mathrm{cos}\left( \alpha\right) }^{2}\,{\mathrm{cos}\left( \beta\right) }^{2}\,{r}^{2}}-R\right) }^{2}+{\mathrm{sin}\left( \alpha\right) }^{2}\,{r}^{2}<{a}^{2} \\ 0 & Otherwise. \end{cases}$

Fíjate que la expresión es horrible pero está bien definida, el infinito se desvanece (como te dije en el último comentario).

Que yo sepa no hay forma de resolver esta integral analíticamente, pero se puede calcular una solución numéricamente para cualquier valor de, $R$ y $a$ .