Son más racional quintics irresoluble?

Question

Es bien sabido que, como los polinomios de grado superior a 4, existen quintics cuyas raíces no pueden resolverse por radicales (Abel-Ruffini teorema). Así, podemos dividir el conjunto de los racionales quintics en los que se pueden resolver por las radiales y las que no. Obviamente, tanto los subconjuntos de infinito en tamaño.

Lo que no es obvio para mí es si ambos tienen la cardinalidad de la densidad en racional quintics (ver actualización más adelante). En otras palabras, podemos hacernos la pregunta: "¿hay más insolubles racional quintics de solucionable?" Mi ingenua expectativa sería 'sí', pero no lo he fondo para formular correctamente o probar esta afirmación. Así que me gustaría ver una prueba de cualquier manera; útiles referencias/citas son bienvenidos.

ACTUALIZACIÓN: Mi uso de "cardinalidad" en mi pregunta original no reflejan mi intención. Era, más bien, como MikeMiller ha indicado en los comentarios: Si el subconjunto de solución racional quintics se denota como $S\subconjunto \mathbb{Q}^5$, $S$ o $\mathbb{Q}^5-S$ denso en $\mathbb{Q}^5$? Más cuantitativamente, puede el siguiente límite se calcula:

$$\lim_{N \to \infty} \frac{\text {nº de solucionable quintics con } |a_i| < N}{N^5}=?$$

Answer 1

Sólo para obtener un punto de datos, el uso de Arce tomé $2000$ al azar quintics con coeficientes de números pseudo-aleatorios de -100 a 100 (el coeficiente de $x^5$ distinto de cero). $1981$ de estos fueron irreductible (por supuesto, la reducible son solucionable). La totalidad de los $1981$ irreductible quintics no fueron resueltos.

EDIT: Quintics con una raíz racional tienen solución, y estos se ven fácilmente a ser denso en $\mathbb Q^5$. Es decir, tomar una aproximación racional $r$ real de una raíz del polinomio. Entonces $p(X) - p(r)$ ha racional root $r$, y es arbitrariamente cerca de $p(X)$.

EDIT: Si no me equivoco, quintics con grupo de Galois $S_5$ son densos en $\mathbb Q^5$. Considere la prueba de que $x^5 - x - 1$ ha Galois grupo $S_5$. La misma prueba se deben aplicar a $p(X) = X^5 +\sum_{i=0}^4 \alpha_i X^i$ mientras

1. Todos los denominadores de los $\alpha_i$ son congruentes a $1 \mod 6$.
2. Los numeradores de $\alpha_0$ y $\alpha_1$ son congruentes a $5 \mod 6$, los de $\alpha_2, \alpha_3$ y $\alpha_4$ son congruentes $0 \mod 6$.

$5$-tuplas que cumplan estas condiciones son densos en $\mathbb Q^5$.

Answer 2

Sí, de hecho, podemos generalizar Mike reformulación (con coeficientes enteros, y permitiendo nonmonic polinomios, que debería ser no esencial) y dar un fuerte resultado: Deja de $P_N$ denota el conjunto de monic polinomios de grado $n > 0$ en $\mathbb{Z}[x]$ cuyos coeficientes todos tienen valor absoluto de $ < $ N. S. D. Cohen dio en La distribución de los grupos de Galois de integrales de polinomios (Illinois J. de Matemáticas., 23 (1979), pp 135-152) asintótica de los límites para la relación en el límite anterior. La reformulación de su declaración con algunos trivial álgebra da (al menos asintóticamente) que $$\frac{\#\{p \en P_N : \text{Ga}(p) \no\cong S_n\}}{N^n} \ll \frac{\log N}{\sqrt{N}},$$ y el límite de la relación en el lado derecho como $N \to \infty$ es $0$. Esto implica, a fortiori, para $n = 5$ que $$\lim_{N \to \infty} \frac{\#\{p \en P_N : \text{Ga}(p) \text{ es solucionable}\}}{N^n} = 0,$$ ya que para quintic polinomios $p$, $\text{Ga}(p)$ es irresoluble iff $\text{Ga}(p) \cong A_5$ o $\text{Ga}(p) \cong S_5$.

Algunos resultados similares se produjeron un par de décadas anteriores: B. L. van der Waerden mostró en Morir Seltenheit der Gleichungen mit Affekt, (Mathematische Annalen 109:1 (1934), pp 13-16) que la relación tiene límite cero (al menos cuando se permite nonmonic polinomios y ajusta el denominador en consecuencia, que es probablemente secundario).

Para más información, vea este mathoverflow.net pregunta y esta vieja de la lesión.pregunta de matemática.