Haz normal a las fibras de un morfismo racional

Question

Dejemos que $f:X\dashrightarrow C$ sea una fibración racional de una variedad tridimensional $X$ a una curva $C$ tal que la fibra genérica es lisa y las diferentes fibras se intersectan en curvas lisas. Tomemos $S$ para ser una fibra lisa. Sea $D$ sea la suma de las intersecciones de $S$ con todas las demás fibras. Es un divisor efectivo en $S$ .

¿Es cierto que $N_{S/X}\cong \mathcal{O}_S(D)$ ?

Si esto no es cierto, tal vez lo sea algo más débil. Por ejemplo, ¿es $H^0(N_{S/X})$ es siempre distinto de cero? ¿Quizás sea incluso cierto que localmente las fibras son deformaciones unas de otras? ¿Es al menos cierto que $c_1(N_{S/X})=D$ ?

También es muy interesante cualquier otra información sobre este bulto normal.

Editar (gracias a @potencialmente denso): Probablemente esto no estaba claro en la primera versión de la pregunta. Por fibra de un morfismo racional me refiero al cierre de una fibra del morfismo regular $f:U\to C$ donde $U$ es el dominio de definición de $f$ .

Answer 1

Si $C$ no es racional y $X$ es suave, el mapa $f$ es un morfismo. De hecho, se puede ver $f$ como un mapa en el jacobiano $J(C)$ y un mapa de una variedad lisa a una variedad abeliana es siempre un morfismo.

Así que si $C$ no es racional, el haz normal a una fibra es trivial.

Si $C={\mathbb P^1}$ entonces $f$ viene dado por a $1$ -sistema lineal de dimensiones $|S|$ y el haz normal a un elemento $S\in |S|$ es ${\mathcal O}_S(S)$ .

(Estoy asumiendo que $f$ tiene fibras conectadas; siempre se puede reducir a este caso considerando la factorización de Stein)