Cierre de $\mathbb{Q}\times \mathbb{Q}\times \mathbb{Q}$

Question

Considere el conjunto $A=\mathbb{Q}\times \mathbb{Q}\times \mathbb{Q}=\{(a_1,a_2,a_3):a_i\in\mathbb{Q}\}$ . Determinar el cierre de $A$ [ $cl(A)$ ].

Mi enfoque:

Como se sabe que $\mathbb{Q}$ es denso en $\mathbb{R}$ es decir $\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}$ y $\mathbb{R}\subseteq cl(\mathbb{Q})$ lo que implica que $cl(\mathbb{Q})=\mathbb{R}$ ya que $\mathbb{R}$ es sólo un subconjunto de sí mismo (ya que sólo consideramos números reales). Así, $\mathbb{R}$ siendo el cierre de $\mathbb{Q}$ es un conjunto cerrado, lo que implica que $\mathbb{R}$ contiene todos los puntos límite de $\mathbb{Q}$ . Así que, $\forall a_i\in A$ , $\exists$ una secuencia $a_{n_i}\to a_i$ como $n\to \infty$ lo que implica que la secuencia $\vec{a}_n:=(a_{n_1},a_{n_2,}a_{n_3})\to \vec{a}\in\mathbb{R^3}$ . Por lo tanto, el cierre de $A$ es $\mathbb{R}^3$ .

Le agradecería su opinión al respecto: ¿es este un enfoque correcto?

Answer 1

Supongo que estás asumiendo la métrica $d(r,q)=|r_1-q_1|+|r_2-q_2|+|r_3-q_3|$ en $\mathbb{Q}^3$ (o uno equivalente), y que sabe que el cierre de $\mathbb{Q}$ (con la métrica habitual) es $\mathbb{R}$ .

Estás tratando de mostrar que $\overline{\mathbb{Q}^3}=\mathbb{R}^3$ . Escoge cualquier $(x,y,z)\in\mathbb{R}^3$ . Como el cierre de $\mathbb{Q}$ es $\mathbb{R}$ existe una secuencia de números racionales $(t^x_n)_n$ tal que $|x-t^x_n|\to0$ como $n\to\infty$ . El mismo razonamiento se aplica con $y$ y $z$ , lo que lleva a $$d((x,y,z),(t^x_n,t^y_n,t^z_n))=|x-t^x_n|+|y-t^y_n|+|z-t^z_n|\to0$$ como $n\to\infty$ es decir $(x,y,z)\in\overline{\mathbb{Q}^3}$ probando su demanda por la arbitrariedad de $(x,y,z)$ .