Otro ejercicio sobre familia finita de conjuntos no vacíos (Dugundji III. 9.2)

Question

Sea $X$ un espacio topológico, y $\mathcal{A} =\{ A_{n} \ | \ n \in \mathbb{N} \}$ una familia de conjuntos en $X$ tal que $A_{n+1} \subset A_{n}$ para cada $n \in \mathbb{N}$. Demuestra que, si $\displaystyle \bigcap_{n \in \mathbb{N}} \overline{A_{n}} = \emptyset$, entonces la familia $\mathcal{A}$ es nbd-finita.

Una familia $\{A_{\alpha} : \alpha \in \mathcal{A} \}$ es nbd-finita en $Y$ si para cada punto $y$ en $Y$, existe $V$ en $\mathcal{N}_{y}$ tal que $A_{\alpha} \cap V \neq \emptyset$ para como mucho finitos índices $\alpha$.

Estoy intentando demostrar por contradicción, pero no puedo llegar a algo absurdo. (es decir, supongo que $\mathcal{A} =\{ A_{n} \ | \ n \in \mathbb{N} \}$ no es nbd-finita, entonces hay un punto $x \in X$, tal que el conjunto $\{ A_{n} \in \mathcal{A} \ | \ A_{n} \cap V \neq \emptyset \}$ no es finito, para cada $V \in \mathcal{N}_{x}$.)

¿Podré llegar a una contradicción con esta hipótesis?

Answer 1

Argumentamos la contrapositiva. Supongamos que $x\in X$ tal que cada vecindario de $x$ interseca infinitos elementos de $\mathcal{A}$. Nuestro objetivo es demostrar que $x\in\bigcap_{n\in\mathbb{N}}\overline{A_n}$. Con este fin, elige $n\in\mathbb{N}$ y un vecindario $U$ de $x$. Por hipótesis, existe un número natural $m\ge n$ tal que $U\cap A_m\ne\emptyset$. Dado que $A_m\subseteq A_n$, deducimos que $U\cap A_n\ne\emptyset$. En consecuencia, $x\in\overline{A_n}$. Por lo tanto, $x\in\bigcap_{n\in\mathbb{N}}\overline{A_n}.