Probar una desigualdad en $\sum_{1\leq i,j \leq n} \langle c_i ,c_j \rangle \times \langle l_i ,l_j \rangle$

Question

Esta es una pregunta que me dejó perplejo durante un examen que hice hoy.

Dejemos que $c_1,...,c_n,l_1,...,l_n$ sean vectores de $\mathbb R^n$ y $\langle .,.\rangle$ denotan el producto punto.

Demostrar que $$\sum_{1\leq i,j \leq n} \langle c_i ,c_j \rangle \times \langle l_i ,l_j \rangle \leq \left( \sum_{i=1}^n||c_i||^2 \right)\left( \sum_{i=1}^n||l_i||^2 \right)$$

Ampliando un poco equivale a demostrar que $$\sum_{1\leq i \neq j \leq n} \langle c_i ,c_j \rangle \times \langle l_i ,l_j \rangle \leq \sum_{1\leq i\neq j\leq n} ||c_i||^2 ||l_i||^2 $$

Pero no sé cómo abordar esta...

Answer 1

Tras una doble aplicación de la desigualdad de Schwarz, obtenemos $$\langle c_i,c_j\rangle\cdot\langle l_i,l_j\rangle\leqslant \lVert c_i\rVert\cdot \lVert c_j\rVert\cdot\lVert l_i\rVert\cdot \lVert l_j\rVert,$$ por lo que, tras una suma sobre $i$ y $j$ , $$\sum_{1\leqslant i,j\leqslant n}\langle c_i,c_j\rangle\cdot\langle l_i,l_j\rangle\leqslant\left(\sum_{i=1}^n\lVert c_i\rVert\cdot \lVert l_i\rVert\right)^2.$$ Concluimos con otra aplicación de la desigualdad de Schwarz a los vectores $x:=(\lVert c_i\rVert)_{1\leqslant i\leqslant n}$ y $y:=(\lVert l_i\rVert)_{1\leqslant i\leqslant n}$ .