¿Cómo obtenemos este cociente $\textrm{Ext}^1(N,M)/\textrm{Hom}(N,M)$ ?

Question

Si $0\longrightarrow M\longrightarrow E\longrightarrow N\longrightarrow 0$ es una secuencia exacta corta de haces vectoriales sobre una superficie. Aquí $M$ y $N$ son haces de líneas, por lo que el rango $ E$ =2. Además, si $L$ es un haz de líneas amplio, tenemos que $\mu_L(M)>\mu_L(E)>\mu_L(N)$ .

Mi pregunta es la siguiente : ¿Por qué $\textrm{Ext}^1(N,M)/\textrm{Hom}(N,M)$ ¿tiene sentido?

A partir de la secuencia exacta inicial, aplicando el functor Hom $(N,\_)$ obtenemos la secuencia $0\longrightarrow \textrm{Hom}(N,M)\longrightarrow \textrm{Hom}(N,E)\longrightarrow \textrm{Hom}(N,N)\longrightarrow \textrm{Ext}^1(N,M)\longrightarrow..$ .

Del mismo modo, si aplicamos Hom $(\_,M)$ obtenemos $0\longrightarrow \textrm{Hom}(N,M)\longrightarrow \textrm{Hom}(E,M)\longrightarrow \textrm{Hom}(M,M)\longrightarrow \textrm{Ext}^1(N,M)\longrightarrow..$ .

¿Cómo se obtiene este cociente?

Answer 1

Como se dice en los comentarios, esto no responde en absoluto a la pregunta, sino a una que surgió allí.

Supongamos que nuestra categoría tiene suficientes proyecciones. Elija una resolución proyectiva $d_{\bullet}\!: P_{\bullet} \to N$ . Utilizando la proyectividad de $P_0$ , resp. la proyectividad de $P_1$ y $\text{im}(f_0 \circ d_0) \subseteq \ker(E \to N) = M$ obtenemos ascensos de la identidad $$\require{AMScd} \begin{CD} P_2 @>d_1>> P_1 @>d_0>> P_0 @>>> N @>>> 0 \\ @VVV @VVf_1V @VVf_0V @VV\text{id}V \\ 0 @>>> M @>>> E @>>> N @>>> 0. \end{CD} $$ De ello se desprende que $E \cong M \amalg_{P_1} P_0$ es el empuje. Por otro lado, consideremos el complejo $$0 \to \text{Hom}(P_0,M) \xrightarrow{d_0^*} \text{Hom}(P_1,M) \xrightarrow{d_1^*} \text{Hom}(P_2,M) \to \ldots$$ Por construcción, $f_1 \in \ker(d_1^*)$ . Esto define la clase de nuestra extensión en $\text{Ext}^1(N,M) = H^1(\text{Hom}(P_{\bullet},M))$ . En consecuencia, se divide si $f_1 \in \text{im}(d_0^*)$ y, de hecho, tenemos una biyección entre $(d_0^*)^{-1}f_1$ y los desdoblamientos de nuestra extensión*. Entonces $\text{Hom}(N,M) \cong \ker(d_0^*)$ actúa sobre esto simplemente de forma transitoria por adición.

*Las escisiones $M \amalg_{P_1} P_0 \cong E \to M$ vienen dadas precisamente por $(\text{id}_M,\varphi)$ con $\varphi \circ d_0 = f_1$ , es decir, tal que $\varphi \in (d_0^*)^{-1}f_1 \subseteq \text{Hom}(P_0,M)$ .