integral inferior cuando la integral es infinita

Question

Tengo $(X,\mathcal{B},\mu)$ un espacio medible, y $f:X \rightarrow [-\infty,+\infty]$ una función medible con, $\int_{X} f^{-} < + \infty$ y $\int_{X} f^{+}=+\infty$ . Mi pregunta es bastante simple, ya que $\int_{X}f^{+}=+\infty$ es la integral inferior de $f^{+}$ también $+\infty$ o puede ser estrictamente inferior a $+\infty$ ?

Answer 1

Consideremos la función de Dirichlet $f: \mathbb R \to \mathbb R$ dado por $$ f(x)= \begin{cases} 1, & \text{if}\ x\in \mathbb R\!\smallsetminus\!\mathbb Q \\ 0, & \text{otherwise.} \end{cases} $$ Entonces la integral de Lebesgue de $f$ es $\lambda(\mathbb R\!\smallsetminus\!\mathbb Q)=+\infty$ pero la integral inferior (Darboux o Riemann) de $f$ es cero porque por muy fina que sea la partición, cada intervalo de partición incluirá números racionales.