¡Buenos días!
Vuelvo a publicar un mensaje que puse un poco antes porque estaba bastante desordenado y quería dejarlo más claro. Tengo una función continuamente diferenciable $f$ en $[a,b]$ y estoy tratando de demostrar la siguiente igualdad:
$\sup\limits_{\mathcal{P}} \displaystyle\sum_i |f(t_{i+1}) - f(t_i)| = \lim\limits_{||\mathcal{P}|| \to 0} \displaystyle\sum_i |f(t_{i+1}) - f(t_i)|$ , donde $\mathcal{P}$ abarca el conjunto de particiones, y el $t_i$ son "puntos de etiqueta" (es decir, cada $t_i$ pertenece al $i+1$ -ésima de la partición).
Ya he demostrado que $\sup\limits_{\mathcal{P}} \displaystyle\sum_i |f(t_{i+1}) - f(t_i)| = \displaystyle\int_a^b |f'(x)| \mathrm{d}x$ y es obvio que $\lim\limits_{||\mathcal{P}|| \to 0} \displaystyle\sum_i |f(t_{i+1}) - f(t_i)| \leq \sup\limits_{\mathcal{P}} \displaystyle\sum_i |f(t_{i+1}) - f(t_i)|$ . Así que traté de mostrar el segundo lado de la desigualdad, pero creo que puede haber un error en mi razonamiento, por lo que quería pedir alguna comprobación. Así es como lo hice:
$|f'|$ es continua, por lo que su integral puede escribirse como un límite de sumas de Riemann: \begin{align*} \displaystyle\int_a^b |f'(x)| \mathrm{d}x &= \lim\limits_{n \to +\infty} \displaystyle\sum_{i = 0}^{n-1} \dfrac{b-a}{n}|f'(a_i)| \, \, \left(a_i := a + \dfrac{i}{n}(b-a)\right) \\ &= \lim\limits_{n \to +\infty} \displaystyle\sum_i |f(a_i + \dfrac{b-a}{n}) - f(a_i) + o(\dfrac{1}{n})| \\ &\leq \lim\limits_{n \to +\infty} \displaystyle\sum_i |f(a_i + \dfrac{1}{n}) - f(a_i)| = \lim\limits_{||\mathcal{P}|| \to 0} \displaystyle\sum_{t_i \in \mathcal{P}} |f(t_{i+1}) - f(t_i)| \end{align*}
Ahora, el paso que creo que es dudoso es el último. Creo que tiene sentido, porque desde $f$ es Riemann-integrable, dos de sus sumas de Riemann con malla van a $0$ debería ser igual, pero no estoy $100\%$ seguro, así que lo pregunto por si acaso :)
