Convergencia y divergencia de una serie compleja

Question

Me han dado la siguiente serie:

$$\frac{z}{1-z^2} + \frac{z^2}{1-z^4} + \frac{z^4}{1-z^8} + ...$$

y me han dicho que investigue la convergencia. Está claro que esto diverge si $z=1$ (posiblemente si $\vert{z}\vert = 1$ ), pero aparte de eso no sé cómo proceder. Wolfram Alpha me dice que esto converge a $\frac{z}{1-z}$ si $\vert{z}\vert<1$ y a $\frac{1}{1-z}$ si $\vert{z}\vert>1$ ¿pero cómo se puede mostrar esto?

Answer 1

Podemos demostrar inductivamente que $$\begin{align*} \sum_{j=0}^n \frac{z^{2^j}}{1-z^{2^{j+1}}}&=\frac{\sum\limits_{k=1}^{2^{n+1}-1}z^k}{1-z^{2^{n+1}}}\\&=\frac{z-z^{2^{n+1}}}{(1-z)(1-z^{2^{n+1}})}\\&=\frac{z-1+1-z^{2^{n+1}}}{(1-z)(1-z^{2^{n+1}})}\\&=-\frac{1}{1-z^{2^{n+1}}}+\frac1{1-z}. \end{align*}$$ El caso base $n=0$ es bastante obvio. Encontramos que $$\begin{align*} -\frac{1}{1-z^{2^{n+1}}}+\frac1{1-z}+\frac{z^{2^{n+1}}}{1-z^{2^{n+2}}}&=\frac{-1-z^{2^{n+1}}}{1-z^{2^{n+2}}}+\frac1{1-z}+\frac{z^{2^{n+1}}}{1-z^{2^{n+2}}}\\&=-\frac{1}{1-z^{2^{n+2}}}+\frac1{1-z}. \end{align*}$$ Por inducción, se demuestra la afirmación.
Podemos ver fácilmente que la serie dada converge para $|z|<1$ y $|z|>1$ , a $\frac{z}{1-z}$ y $\frac1{1-z}$ respectivamente.
Si $|z|=1$ entonces la serie dada converge si y sólo si $$ \exists \lim_{n\to\infty} z^{2^n} \ne 1. $$ Si denotamos dicho límite por $L$ entonces debe satisfacer $$ L^2 =\lim_{n\to\infty} z^{2^{n+1}}=\lim_{n\to\infty} z^{2^n}=L $$ dando $L=1$ o $L=0$ . Desde $L\ne 0,1$ la serie no converge para todo $|z|=1$ .

Answer 2

Dejemos que $f(z)=\dfrac z{1-z^2}$ . Entonces su serie es $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty f(z^{2^n})$ . Por lo tanto, dejemos que \begin{align}f_n(z)&=f(z^{2^n})\\&=z^{2^n}+z^{3\times2^n}+z^{5\times2^n}+\cdots\end{align} Si $K$ es un subconjunto compacto de $D(0,1)$ y si $M=\sup_{z\in J}\lvert z\rvert$ entonces $$\bigl(\forall z\in D(0,1)\bigr)(\forall n\in\mathbb{Z}_+):|f_n(z)|=\left|f\left( z^{2^n}\right)\right|=\left|\frac{z^{2^n}}{1-z^{2^{n+1}}}\right|= \frac{|z|^{2^n}}{\left|1-z^{2^{n+1}}\right|}\leq\frac{M^{2^n}}{ 1-M^{2^{n+1}}}$$ y así $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty f_n$ converge uniformemente en cada subconjunto compacto de $D(0,1)$ . Se deduce de Teorema de la doble serie de Weierstrass que, si $\displaystyle\sum_{k=0}^\infty c_{n,k}z^k$ es la serie de Taylor de $f_n$ centrado en $0$ entonces $$(\forall z\in D(0,1)):\sum_{n=0}^\infty f_n(z)=\sum_{k=0}^\infty \sum_{n=0}^\infty c_{n,k}z^k,$$ lo que significa que $$\bigl(\forall z\in D(0,1)\bigr):\sum_{n=0}^\infty\frac{z^{2^n}}{1+z^{2^{n+1}}}=1+z+z^2+z^3+\cdots=\frac1{1-z}.$$

Para ver qué ocurre cuando $\lvert z\rvert>1$ , reemplazar $z$ con $\frac1z$ .