Axiomas de Contabilidad y $T_0$ y $T_1$ espacio

Question

Considere $\mathbb{N}$ como número natural con la siguiente topología $T$ :

$U\subset \mathbb{N}$ es no vacía, $U\in T$ si y sólo si $U$ tiene la propiedad de que el número natural $n$ pertenece a $U$ sólo si todos los supervisores $k\in \mathbb{N}$ de $n$ pertenece a $U$ .

a) Es $(\mathbb{N},T)$ a $T_1$ -¿espacio?

b) Es $(\mathbb{N},T)$ a $T_0$ -¿espacio?

c)Es $(\mathbb{N},T)$ ¿un segundo espacio contable?

d)Es $(\mathbb{N},T)$ ¿un primer espacio contable?

Mi solución:

Parte a) Basándose en la definición de $T_1$ -espacio que dijo $(\mathbb{N},T)$ a $T_1$ -si para todo $x,y\in \mathbb{N}$ , $\exists$ Abrir $U,V$ tal que $x\in U$ , $y\in V$ , $x\notin V$ , $y\notin U$ . así como $1$ dividir cada elemento en $\mathbb{N}$ , $1$ pertenecen a cada $U$ . Así que si dejamos que $x=1$ , $y$ no podemos encontrar ningún conjunto abierto que no contenga $1$ .

Agradeceré cualquier ayuda para corregir o mejorar mi forma y mi redacción matemática.

Parte b) Un ritmo topológico $(\mathbb{N},T)$ es $T_1$ -si para todo punto distinto $x,y\in \mathbb{N}$ , $\exists$ Abrir $U$ , de tal manera que $x\in U$ , $y\notin U$ . Si dejamos que $x=1$ y $y\in \mathbb{N}$ siempre existe un conjunto abierto tal que $x\in U$ y $y\notin U$ .

Yo también tengo el mismo problema, no sé si es correcto y suficiente?

Parte c) $(\mathbb{N},T)$ es un segundo espacio contable si existe una base contable para la topología en $\mathbb{N}$ . Puedo demostrarlo con el siguiente ejemplo pero necesito una forma más precisa.

dejar $B=$ { $U_1 ,U_2 , ...$ } tal que $U_1 =$ { $1$ } , $u_2 =$ { $1,2$ } , $U_3 =$ { $1,3$ } y ets. Primero, $ \forall x\in \mathbb{N}$ , $\exists U_i \in B$ tal que $x\in U_i$ . Segundo, $\forall U_i , U_j \in B$ pour $x\in U_i \cap U_j$ $\exists U_k \in B$ , $x\in U_k \subset U_j\cap U_i$ . por ejemplo $U_1\cap U_3 =$ { $1$ }, $\exists$ { $1$ } tal que $1\in$ { $1$ } $\subset$ { $1$ }.

Parte d) $(\mathbb{N},T)$ es un primer espacio contable si $ \forall x\in \mathbb{N}$ tiene una base local contable. Es decir, $\forall x\in\mathbb{N}$ , $B=$ { $U_i, 1\le i \le n$ }, $B\subset \mathbb{N}$ ,

$\forall U \in T$ , $x\in U$ , $\exists U_i \in B$ tal que $U_i \subset U$

$\forall x \in mathbb{N}$ , dejemos que $x=2$ y $B=$ { $U_1 , U_2 ,...$ } tal que $u_1=$ { $1$ } , $U_2 =$ { $1,2$ } , $U_3=$ { $1,3$ } si $U=$ { $1,2,4$ }, vemos $2\in U$ entonces $\exists U_2 \in B$ tal que $U_2 \subset U$ .

Pero necesito ayuda para demostrarlo sin ejemplo.

Answer 1

A) Su respuesta es perfecta. La definición que yo conocía sólo implicaba un conjunto abierto alrededor de $x$ que no contiene $y$ pero es lo mismo por razones de simetría.

b) Si quisieras demostrar que es $T_0$ entonces no se pueden elegir libremente valores para $x,y$ pero asume que $x,y$ se dan. Ahora bien, este espacio es efectivamente $T_0$ . Pero $T_0$ significa que para cualquier $x,y$ existe un conjunto abierto $U$ que contiene exactamente uno de $x,y$ (pero no se dice cuál). Por lo tanto, si ninguno de los dos $x,y$ es $1$ y, por ejemplo $x<y$ entonces $x\in G_x\not\ni y$ .
Si $x=1$ y $y> 1$ entonces considera $\{1\}=G_1$ alrededor de $x$ Esto no contiene $y$ .

c) Para cada $n\in\Bbb N$ considere el conjunto $G_n:=\{m\in\Bbb N\,:\,m\,|\,n\}$ , entonces está abierto ( $G_n\in T$ ), y, la definición de $T$ afirma precisamente eso $U\in T\iff U$ es una unión de $G_n$ (siempre que $n\in U$ tenemos $G_n\subset U$ ).

d) Si un espacio es $M_2$ entonces implica que también es $M_1$ .