Es $x^4 -4x^3+6x^2-4x-8$ irreducible sobre $\mathbb{Q}$ ?

Question

Si dejo que $z = x-1$ entonces $f(z) = z^4 - 9$ . Si aplico el criterio de Eisenstein con $p = 7$ Lo entiendo. $f(z)$ es irreducible, pero puedo expresar $f(z) = (z^2-3)(z^2+3)$ por lo que significa que es reducible. ¿Estoy aplicando mal el criterio de Eisenstein?

Answer 1

El criterio de Eisenstein exige

• $p\mid a_i$ pour $i < n$
• $p^2 \nmid a_0$
• $p \nmid a_n$

Específicamente, $7\nmid -9 = a_0$ se viola en el caso sustituido. De hecho, la condición para $a_0$ no está satisfecha por ningún $p$ porque $p\mid -9 \Rightarrow p = 3 \Rightarrow p^2 = 9 \mid -9$ .

Un discurso similar lleva a que la CE es inaplicable para cualquier primo del polinomio original.

Answer 2

No está aplicando correctamente el criterio de Eisenstein. $7$ no divide $-9$ .

Para aplicar el criterio de Eisenstein (que no es aplicable aquí, porque el polinomio es reducible), hay que encontrar un primo $p$ que divide $-9$ , de tal manera que $p^2$ no divide $-9$ . Además, $p$ no debe dividir el coeficiente de $x^4$ que es $1$ ici.

Una instancia de E.C es: $f(x) = x^2 - 14$ . $7$ divide $14$ pero su cuadrado no, y $7$ no divide $1$ . Así que $f(x)$ es irreducible (en $\mathbb Q[x]$ ).

Answer 3

Sí, no sé cuál es su versión del criterio Eisenstein. En realidad el criterio de Eisenstein con $p=7$ , supondría que $-4, 6, -4 $ y $-8$ son divisibles por $7$ y $-8$ no es divisible por $7^2$ . Sólo la última afirmación es cierta.