Vea la imagen. He estado jugando con algunas "serpientes que llenan el espacio" de las secuencias. Esta secuencia es precisamente la secuencia de los números naturales. Pero cuando la serpenteas así, y coloreas $1$ y los números primos Impares azules, ¡se obtiene una figura simétrica!
¿Hay alguna razón para ello? ¿Continúa el patrón de alguna manera?
La simetría bilateral del anillo exterior es una consecuencia fácil de dos "coincidencias": (a) $2\cdot 3\cdot 5=30$ y (b) $30\lt 49 = 7\cdot 7$ . Ahora, (a) significa que $p|n$ si $p|(30-n)$ pour $p\in\{2,3,5\}$ b) significa que $2,3,5\not\mid n\implies n$ de primera calidad para $n\lt 30$ . Juntos, implican que para $6\leq n\leq 24$ , $n$ es primo si $30-n$ es primo.
Ahora, esta simetría no puede continuar más, porque el siguiente primor, $210=2\cdot3\cdot5\cdot7$ es mayor que el siguiente "número de tamiz $121=11^2$ Así que no es necesariamente el caso de que $n$ es primo si $210-n$ es primordial para $30\leq n\leq 180$ por ejemplo, $67$ es primo pero $210-67 = 143 = 11\cdot 13$ .
La simetría rotacional es un "accidente" similar de números pequeños: para $7\leq n\lt 19=25-6$ , $n$ es primo si $n+6$ es primo. Esto se debe a que todos los no primos menores que $25$ debe tener un factor de $2$ o $3$ y $n$ tiene dicho factor si $n+6$ lo hace. De nuevo, esto no puede continuar más allá, porque el tamaño de los productos de los primos que necesitas para asegurar que $n$ y $n+d$ son divisibles por el mismo conjunto de números supera con demasiada rapidez el tamaño de los cuadrados de los primos que necesita para acotar su $n$ para asegurarse de que no pueden tener factores primos "espurios".
Si piensas en tamizar los primos, sólo tienes que comprobar $2$ y $3$ como divisores porque no has llegado a $5^2=25$ todavía. Eso significa que todos los números de la forma $6k+1$ y $6k+5$ son primos, más $2$ y $3$ . Su gráfico es incorrecto porque muestra $1$ como primo y no $2$ . Eso estropearía la simetría.
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