Logaritmos Zech

Question

Dejemos que $a$ sea un elemento primitivo de $\mathbb{F}_{16}$ que satisface la ecuación $a^4=1+a$ .

El logaritmo de $1+a+a^2$ en $\mathbb{F}_{16}$ con base $a$ es el número entero $i$ tal que $0i<15$ y $1+a+a^2=a^i$ .

Dar el logaritmo de $1+a+a^2$ con base $a$ .

Por la primera línea sabemos que el logaritmo Zech de $1$ es $4$ es decir $Zech(1)=4$ .

También $a+a^2=a^{1+Zech(2-1)}=a^{5}$ .

Ahora no estoy seguro de cómo proceder. ¿Algún consejo?

Answer 1

$a^4 = a +1$ así que $1+a + a^2 = a^4+a^2$ pero como estamos en la característica 2 tenemos que $a^4+a^2=(a^2+a)^2=(a*(a+1))^2=(a*a^4)^2=a^{10}$