$\mathbb S^3=\mathbb R\mathrm P^3$? Encontrar el error en la prueba.

Question

Es sabido que en la esfera de la $\mathbb S^3$ puede ser descompuesto como dos sólidos de tori. Se puede hacer con la siguiente "parametrización" $f:(\mathbb S^1\times \mathbb S^1 \times [0,1])_{/\sim}\to \mathbb S^3\subseteq \mathbb R^4$: $$f(\alpha, \beta , t) = (\cos \frac{t\pi}{2} \cdot \alpha,\ \sin \frac{t\pi}{2} \cdot \beta).$$

Debe haber un error en alguna parte, pero yo no lo encuentro: me parametrizadas $\textrm{SO}(3)$ (que es el mismo que $\mathbb R\textrm P^3\neq \mathbb S^3$) de la misma manera.

Cualquier matriz de $\textrm{SO}(3)$ está determinada únicamente por sus dos primeras columnas.

Suponga que la primera columna de $A$ es diferente de los polos $\pm(0,0,1)$. Luego en la segunda columna de $B$ puede ser descrito en términos de ángulo. Veamos $B$ como un vector tangente a la esfera de $\mathbb S^2$ a punto de $A$. A continuación, $0$-ángulo corresponde al vector $B$ señala oriente, $\pi/2$ corresponde a $B$ apuntando hacia el norte y así sucesivamente.

Por lo que esta parte de la $\textrm{SO}(3)$ puede ser paramtrized por $\mathbb S^2\setminus \{\pm(0,0,1)\} \times \mathbb S^1 \simeq (-1,1) \times \mathbb S^1 \times \mathbb S^1$ (con coordinar las funciones de: $t,\varphi, \psi$).

Supongamos ahora que $A=\pm(0,0,1)$. Parametrizar $B$ con el ángulo de la siguiente manera: $B(\phi)=(0,\cos(\phi+\frac{\pi}{2}), \sin(\phi+\frac{\pi}{2}))$. Cómo pegar con el anterior? Vamos a:

$$ B(-1,\varphi, \psi) = B(\varphi+\psi),\\ B(1, \varphi, \psi) = B(\varphi-\psi).$$

Si nos reajuste de parámetros el torus $\mathbb S^1\times \mathbb S^1$$\alpha = \varphi + \psi$$\beta = \varphi - \psi$, podemos ver que la función $g=(A,B)(t,\alpha,\beta):[-1,1] \times \mathbb S^1 \times \mathbb S^1 \to \textrm{SO}(3)$ identifica los mismos puntos que $f$ lo hizo (con evidentes correcciones en el orden de los factores y la longitud del intervalo).

La prueba se basa en tres: 1) cualquier mapa continuo de un espacio compacto $X$ en un espacio de Hausdorff $Y$ induce un homeo entre lo obvio cociente $X_{/\sim}$ y $Y$, 2) $B$ es continua, 3) las identificaciones son los mismos.

Lo que me estoy perdiendo?

Answer 1

Desde savick01 ya escribió una auto-respuesta que describe que la prueba sale mal, me voy a concentrar en esta respuesta en una forma más intuitiva de la imagen de lo que sucede. Por lo tanto, yo también voy a no iniciar directamente en la asignación, pero primero se describen algunas de las equivalencias que ayudan a visualizar lo que ocurre

La equivalencia de las $S^3$ dos $3$dimensiones de las bolas con la identificación de las fronteras.

Matemáticamente, esta identificación es trivial. Utilizamos el estándar de la incorporación de la $S^3$ a $\mathbb R^4$ como la unidad de la esfera alrededor del origen, dado por la ecuación $$x^2 + y^2 + z^2 + w^2 = 1\ ,$$ donde un punto en $x^4$ está dado por las coordenadas $(x,y,z,w)$. La solución de esta ecuación para $w$ da las soluciones $$w = \pm\sqrt{1-x^2-y^2-z^2}\ .$$ Así, la ecuación tiene dos soluciones para $x^2 + y^2 + z^2 < 1$, uno para $x^2+y^2+z^2=1$, y ninguno de $x^2+y^2+z^2>1$. Ahora la ecuación de $x^2+y^2+z^2\le 1$ describe la bola unidad cerrada en $\mathbb R^3$. Así que tenemos dos balones, uno positivo y uno negativo $w$. La excepción es en la frontera, donde el $w=0$ y por lo tanto los puntos de ambos de la unidad de bolas con la igualdad de coordenadas que describen el mismo punto de $S^3$.

Hasta el momento de la descripción. Pero, ¿qué significa? A ver, vamos a una dimensión menos y considerar la esfera de $S^2$, incrustado en $\mathbb R^3$. Ahora, considere la proyección paralela cuando se mira por ejemplo a partir de positivos $z$ dirección (es decir, desde arriba). Esta proyección implica, básicamente, la eliminación de la $z$ coordinar. La imagen de la esfera es, por supuesto, la unidad de disco. Ahora bien, si un punto de la esfera tiene un resultado positivo de $z$ valor, podemos ver desde arriba, de lo contrario no se puede. Es costumbre de dibujar "invisible" de las líneas en una esfera de guiones en la proyección. Otra opción es el uso de gris en lugar de negro, que tiene la ventaja de que también funciona para los puntos. Ver la siguiente imagen para ver un ejemplo (aunque es probable que ya hayas visto toneladas de este tipo de imágenes):

Esto muestra el disco (en realidad el círculo, que es la frontera del disco), y la imagen de un gran círculo, en la parte frontal ($z>0$) se dibuja en negro y la parte trasera en color gris. Ahora lo que esto realmente significa es que hay dos discos dibujado en la parte superior de uno al otro, donde uno de los discos se dibuja en negro, y el otro en gris:

El círculo que forma el borde del disco, por supuesto, sólo existe una vez, y sólo allí podemos obtener de uno de los discos para el otro.

Los dos "frente" y "atrás" de discos para la 2-esfera son exactamente equivalentes a los dos bolas para la 3-esfera. De hecho, también podemos combinar los dos pelotas en uno y utilizar diferentes colores para marcar "adelante" y "atrás". Esto da una visión de los modelos mentales para $S^3$.

El "Toro de parametrización" en esta imagen

A ver lo que la parametrización de la $f$ hace, vamos a ampliar los círculos $S^1$ en dos coordenadas de cada uno usando el estándar de la incrustación, con lo que obtenemos las coordenadas $$f(\alpha, \beta, t) = (\cos(t\pi/2)\cos\alpha, \cos(t\pi/2)\sin\alpha, \sin(t\pi/2)\cos\beta, \sin(t\pi/2)\sin\beta)$$

Ahora bien, si nos proyectamos en nuestros dos bolas, por primera vez, vemos que para $t=\mathrm{const}$ $\beta=\mathrm{const}$ obtenemos un círculo con un radio de $\cos(t\pi/2)$ paralelo a la $x$-$y$ plano con centro en el $z$ eje, a una altura de $z=\sin(t\pi/2)\cos\beta$ en una de las dos esferas.

Ahora tenemos también que el parámetro $\beta$, para obtener la totalidad de toro. Al hacerlo, nos encontramos con que el círculo sólo se mueve a lo largo de la $z$ eje, hasta que se llega a la frontera de la bola donde se "salta" a la otra bola y se mueve de nuevo a lo largo de la $z$ eje. Es decir, nosotros tenemos un par de cilindros, uno en cada esfera, tanto de la igualdad. Tenga en cuenta que cada par de las correspondientes líneas verticales en ambas esferas darle un círculo en $S^3$; este es el cuerdo como la latitud círculos aspecto de las líneas cuando se mira a la tierra desde un lado, y la longitud de los círculos de hacerlo cuando se mira desde un polo.

El toruses para diferentes $t$ corresponden a los cilindros de radio diferente, como si se hubiera utilizado apple sacatestigos de diferente tamaño para cortar a través de las esferas.

Hay dos casos especiales: $t=0$$t=1$. Para $t=0$, llegamos al ecuador de las bolas (el ecuador es compartida porque es en la frontera). Es decir, el toro, degeneró en un gran círculo. Para $t=1$, obtenemos el eje z para las dos bolas. Tenga en cuenta que esto también es un gran círculo de $S^3$.

La equivalencia de las $SO(3)$ colector a una sola bola con antipodal puntos fronterizos identificados

Ahora, habiendo explorado $S^3$, vamos a explorar el colector correspondiente a $SO(3)$, el grupo de las rotaciones en el espacio tridimensional. Como todo el mundo sabe, la rotación puede ser descrito por su eje de rotación y el ángulo de rotación. Desde un eje da una dirección y un ángulo da una magnitud, que se puede combinar tanto en un vector. El vector cero es entonces la identidad, y cualquier otro vector que describe una rotación del ángulo determinado por su longitud alrededor del eje correspondiente. Uno puede mostrar que esta es una asignación continua, es decir, sólo ligeramente diferentes rotaciones conducen a sólo ligeramente diferentes vectores. Sin embargo, una rotación de $\pi$ alrededor de un eje y una rotación de $-\pi$ que alrededor de un mismo eje, son la misma transformación, por lo tanto, uno tiene que identificar a los dos. Por supuesto, esto significa que podemos limitarnos a los vectores de longitud $\le\pi$ porque ya vector sería "wrap around" para el otro lado. Por lo tanto, las rotaciones son descritos por una bola de radio $\pi$, donde antipodal puntos en la frontera de la esfera son identificados.

Por supuesto, uno puede cambiar la escala de la pelota a un equipo de pelota.

La parametrización de $SO(3)$

El primer vector de la matriz de rotación describe la dirección en la que el vector unitario $e_x$ es girado. Así que si definimos los ángulos de Euler utilizando el $x$ dirección en lugar de la $z$ dirección y reemplazar el ángulo de la $y$ rotación (que va de$0$$\pi$) por su coseno, obtenemos exactamente la parametrización de la pregunta: $A$ está determinado por dos ángulos que describe un punto en $S^2$, e $B$ es descrito por el tercer ángulo.

(Continúa; ahora es la 1 de la madrugada aquí :-))

Answer 2

Como ya fue notado en los comentarios de la incorrecta elemento es el nuevo "parametrización" del toro con $\alpha = \varphi + \psi$$\beta = \varphi - \psi$, que por supuesto no es inyectiva.

El falso parametrización establece el cociente mapa de $\mathbb S^3\to \mathbb R \mathrm P^3$

Sorprendentemente, $g$ poco después de las correcciones (voy a denotar por $h$) establece las normas para el cociente de mapa de identificación de antipodal puntos de la esfera.

Deje $h:\mathbb S^1\times \mathbb S^1 \times (0,1) \to (0,1) \times \mathbb S^1\times \mathbb S^1 \subseteq \mathrm{SO}(3)$ estar dado por la fórmula: $$h(\alpha,\beta,t)=(A,B)(t,\alpha+\beta,\alpha-\beta),$$ donde $(A,B)=(A,B)(t,\varphi, \psi)$ es igual que en la pregunta.

Supongo que lo de los puntos identificados! Como ya se ha notado: $(\alpha, \beta, t) \sim (\alpha + \pi, \beta + \pi, t)$ que corresponde exactamente a antipodal puntos sobre la esfera en virtud de parametrización $f$!

Lo que ocurre en los polos? Las siguientes fórmulas a partir de la pregunta $B(-1,\varphi, \psi) = B(\varphi+\psi),\ B(1,\varphi, \psi) = B(\varphi-\psi)$ conducen a las ecuaciones:

$$\Pi_B(h(\alpha,\beta,-1))=B(-1,\alpha+\beta \alpha\beta)=B(2\alpha)= \left(0,\cos(2\alpha+\frac{\pi}{2}), \sin(2\alpha+\frac{\pi}{2})\right)\\ \Pi_B(h(\alpha,\beta,1))=B(2\beta)= \left(0,\cos(2\beta+\frac{\pi}{2}), \sin(2\beta+\frac{\pi}{2})\right) $$

Los puntos identificados se $(-1,\alpha,\beta)\sim (-1,\alpha+\pi,\beta')$$(1,\alpha,\beta)\sim (1,\alpha',\beta+\pi)$, lo que de nuevo corresponde a la antipodal puntos sobre la esfera bajo el cociente mapa de $f$ (identificación de $(-1,\alpha,\beta)\sim (-1,\alpha,\beta')$$(1,\alpha,\beta)\sim (1,\alpha',\beta)$).

Didáctica nota: la notación de las formas de nuestro pensamiento

Un facilitador de mi error era impropio de notación: he utilizado la notación aditiva y había $\varphi=\frac{\alpha+\beta}{2}, \psi = \frac{\alpha-\beta}{2}$ en la mente, mientras que no hay división por dos $\mod 2\pi$ - una notación multiplicativa sería mucho mejor, ya que es generalmente recordado que no es la raíz cuadrada de la función en el plano complejo...

Answer 3

Su supuesta "reparametrization" del Toro, $(\varphi, \psi) \mapsto (\varphi + \psi, \varphi - \psi)$, define una asignación de $2$ $1$$S^1 \times S^1$a sí mismo (puesto que el jacobiano es igual a $2$). :)

Editar: hacia celtschk, pero dejando esta respuesta ya que el jacobiano confirma error sospechado.