Evaluación de $\lim_{n\to \infty}\left(^nC_{0}\,^nC_{1}\cdots\,^nC_{n-1}\,^nC_{n}\right)^{1/(n(n+1))}$ . ¿Dónde está mi error?

Question

$$L=\lim_{n\to \infty}\left(\;^nC_{0}\,\cdot\,^nC_{1} \,\cdot\,\cdots\,\cdot\,^nC_{n-1}\,\cdot\,^nC_{n}\;\right)^{1/(n(n+1))}$$

Mi intento:

Tomando el registro en ambos lados:

$$\ln L= \lim_{n\to \infty} \frac{\ln (^nC_{0}) +\ln(^nC_{1})+\cdots+\ln(^nC_{n-1})+\ln(^nC_{n})}{n(n+1)}$$

Aplicando la regla de L'hospital (diferenciando el numerador y el denominador con respecto a $n$ ) porque es $\dfrac{\infty}{\infty}$ formulario

$$\ln L=\lim_{n\to \infty}\frac{0+\frac{1}{n}+\frac{2!(2n-1)}{n(n-1)}+\cdots+\frac{1}{n}+0}{2n+1}=\frac{0}{\infty}=0 \implies L=1 $$

Pero la respuesta está llegando $L= \sqrt{e}$

no veo donde estoy haciendo mal. en saber como viene la respuesta $\sqrt{e}$ pero

por qué la regla del hospital L no está funcionando .

creo que no hay problema en diferenciar la función en el numerador porque todas las funciones son continuas en $n =\infty$

Answer 1

Cada término de su numerador $\to 0$ pero el número de estos términos es $n+1$ que $\to\infty$ . Así que no es obvio, por ejemplo, que su suma tienda a $0$ En efecto, no es así. Si quieres resolver el problema correctamente, te recomiendo la aproximación de Stirling $k!\approx\sqrt{2\pi}k^{k+1/2}e^{-k}$ .