Si $p$ es un número primo, demuestre que para cualquier $a \in \mathbb{Z}$ tenemos $p |a^p+(p-1)!a$ et $p|(p-1)!a^p+a$

Question

Si $p$ es un número primo, demuestre que para cualquier $a \in \mathbb{Z}$ tenemos $$p |a^p+(p-1)!a$$ et $$p|(p-1)!a^p+a$$ No tengo ni idea de cómo empezar. ¿Alguien puede dar alguna pista?

Answer 1

Veamos la primera.

Queremos demostrar que $a^p + (p-1)!a \equiv 0 \pmod p$ . A partir del Pequeño Teorema de Fermat, sabemos que $a^p \equiv a \pmod p$ . Por el Teorema de Wilson, $(p-1)! \equiv -1 \pmod p$ .

En conjunto, esto significa que $a^p + (p-1)!a \equiv a + -a \equiv 0 \pmod p$ que es lo que queríamos mostrar.

Utiliza el Teorema de Wilson y el Pequeño Teorema de Fermat para demostrar también el segundo.