Extender una forma diferencial desde un subconjunto de $S^2$ a $S^2$ y luego integrarlo

Question

Dejemos que $X = \{(x,y,z) \in S^2 \ \mid \ z \neq 0 \} \subset S^2$ y que $$\omega = \frac{1}{z} dx \wedge dy $$ sea un diferencial $2$ -formar en $X$ .

$(i)$ ¿Cómo podemos ampliar $\omega$ de $X$ a un diferencial $2-$ formulario $\theta$ en $S^2$ tal que $\theta |_{X} = \omega$ ?

$(ii)$ ¿Qué es entonces $i_V(\theta)$ (el producto interior de $\theta$ en $V$ ), con $$V = y \cdot \frac{\partial}{ \partial x} - x \cdot \frac{\partial}{\partial y}.$$

$(iii)$ ¿Cómo podemos calcular $\displaystyle \int_{S^2} (x+y)\cdot \theta$ ?

No estoy muy seguro de cómo resolver las preguntas anteriores. Este post - Formas diferenciales en submanifolds - tiene una respuesta sobre cómo ampliar $\omega$ a $\theta$ pero utiliza una descomposición del haz tangente. ¿Hay alguna manera de hacer $(i)$ utilizando particiones de la unidad? Sin embargo, el problema de las particiones de la unidad es que no tenemos ningún control sobre ellas. ¿El uso de particiones de la unidad no haría $(ii)$ et $(iii)$ muy difícil de resolver (suponiendo que podamos escribir $\theta = \displaystyle \sum_{i=1}^n (f_i \cdot \omega)$ , donde $\{f_i \}_{i=1}^n$ es la parte suave de la unidad)?

Una forma más agradable sería multiplicar $\omega$ con una función de bache que es $1$ en $X$ et $0$ en $S^2 \setminus X$ (aunque dicha función no existe, pero tal vez podamos utilizar alguna variación de ésta).

Answer 1

La pregunta busca un hormigón (y directa) solución, no una solución abstracta. El argumento de la partición de la unidad es probablemente más adecuado para una forma definida en una submanifold cerrada, en lugar de una abierta.

Obsérvese que en la esfera tenemos $x\,dx+y\,dy+z\,dz = 0$ y la zona conocida $2$ -forma $\theta=x\,dy\wedge dz +y\,dz\wedge dx+ z\,dx\wedge dy$ . (Deberías poder comprobar ambas cosas, si no las conoces ya). Ahora, eliminando $dz$ de $\theta$ (es decir, trabajar en el conjunto abierto $z\ne 0$ ), demuestre que $$x\,dy\wedge dz +y\,dz\wedge dx+ z\,dx\wedge dy = \dfrac{dx\wedge dy}z.$$

(Como comentario adicional, añadiré que muchos estudiantes recordarán $\omega$ de su curso de cálculo multivariable (sin la cuña, probablemente) como la criatura que se integra para obtener la superficie en el hemisferio superior).

EDITAR : Como lo que he sugerido en los comentarios probablemente no sea muy conocido, voy a añadirlo al registro. Utilizando la relación $x\,dx+y\,dy+z\,dz=0$ comprobamos que cuando $x,y,z\ne 0$ tenemos $$\underbrace{\frac{dx\wedge dy}z}_{\omega_1} = \underbrace{\frac{dz\wedge dx}y}_{\omega_2} = \underbrace{\frac{dy\wedge dz}x}_{\omega_3}.$$ Desde $x^2+y^2+z^2=1$ tenemos $$\omega=\omega_1=z^2\omega_1+y^2\omega_2+x^2\omega_3 = z\,dx\wedge dy+y\,dz\wedge dx + z\,dx\wedge dy = \theta$$ cuando $x,y,z\ne 0$ . Pero esta forma es suave en el cierre, es decir, en todo $S^2$ .

Answer 2

Permítanme mostrarles una forma menos "mágica" de encontrar la extensión a todos los $S^2$ . Para ello, sólo tenemos que ampliar $\omega$ para coordinar las cartas que cubren $S^2\setminus X$ . Podemos cubrir $S^2$ por seis gráficos de coordenadas, es decir, los seis gráficos en los que una de las tres coordenadas tiene signo fijo (no cero), y utilizamos las otras dos coordenadas para nuestro gráfico (así, por ejemplo, uno de estos gráficos es $\{(x,y,z)\in S^2:x>0\}$ y utilizamos $y$ et $z$ como nuestras coordenadas en ese gráfico, con $x$ que se determina de forma única como $\sqrt{1-y^2-z^2}$ ). La definición dada ya nos da una definición bien definida $2$ -forma en los gráficos donde $z$ es positivo o negativo, por lo que sólo tenemos que preocuparnos de los gráficos en los que $x$ o $y$ tiene signo fijo.

Así, por ejemplo, veamos el gráfico en el que $x>0$ . En ese gráfico utilizamos $y$ et $z$ como nuestras coordenadas, por lo que queremos reescribir la fórmula de $\omega$ utilizando sólo $y$ et $z$ y no $x$ y esperar que el $z$ en el denominador desaparece (ya que es el único obstáculo para tener una $2$ -forma). Para ello, utilizamos la relación $x\,dx+y\,dy+z\,dz=0$ en $S^2$ (que viene de diferenciar $x^2+y^2+z^2=1$ ) para decir $dx=-\frac{y\,dy+z\,dz}{x}$ en nuestro gráfico de coordenadas (ya que $x$ es siempre distinto de cero en él). Sustituyendo esto en nuestra fórmula para $\omega$ obtenemos $$\omega=\frac{1}{z}\cdot(-\frac{z}{x} dz\wedge dx)=-\frac{1}{x}dz\wedge dx.$$ Ahora vemos que esto se extiende obviamente a un $2$ -(dada por la misma fórmula) en todo el gráfico donde $x>0$ incluso cuando $z=0$ . El mismo cálculo funciona también en el gráfico donde $x<0$ y un cálculo similar funciona en los gráficos donde $y>0$ o $y<0$ . Así que vemos que $\omega$ se extiende a un $2$ -en todos los gráficos, y estas extensiones son obviamente compatibles en las superposiciones (porque provienen de la misma fórmula, o bien porque $X$ es denso en $S^2$ y por lo tanto hay como mucho una extensión continua a cualquier punto).