¿Existe un primo mayor p tal que J_0(p) se divide completamente en curvas elípticas

Question

La pregunta del título está relacionada con una pregunta más general. En concreto, ¿existe un número entero $N$ tal que para todas las curvas $C/\mathbb C$ del género $> N$ se tiene que no todos los factores de isogenia simple de $J(C)$ son curvas elípticas.

Ahora bien, desde hace más de $\mathbb Q$ los factores de isogenia de $J_0(p)$ corresponden a las órbitas de galois de las nuevas formas, me parece que la cuestión de si hay un primo mayor $p$ tal que $J_0(p)$ se divide completamente en curvas elípticas sobre $\mathbb Q$ debería ser más fácil y me pregunto si la respuesta ya se conoce.

Sospecho que la respuesta es sí y que $p = 37$ es el mayor primo tal que $J_0(p)$ se divide completamente en curvas elípticas. De hecho, utilizando la base de datos de curvas elípticas de Cremona, he comprobado que 37 es el mayor primo por debajo de 300000 tal que $J_0(p)$ se divide completamente en curvas elípticas.

La razón por la que sólo lo pido para los niveles de primera $p$ es que ya demostré que si $p = 37$ es efectivamente el mayor primo tal que $J_0(p)$ se divide completamente en curvas elípticas, entonces $N = 1200$ es el mayor número compuesto tal que $J_0(N)$ se divide completamente en curvas elípticas.

Answer 1

La respuesta, debida a Jean-Pierre Serre, se encuentra en un nota inédita de Henri Cohen donde caracteriza los enteros Impares $N$ tal que $J_0(N)$ es isógena a un producto de curvas elípticas.

Para su pregunta, $N$ es primo, y sólo $p=11$ , $13$ , $17$ , $19$ y $37$ satisfacen esta condición. (Para $p=13$ , $J_0(p)$ tiene dimensión $0$ .)

En el caso general, Cohen da el siguiente teorema:

Teorema . Los únicos valores impar de $N$ para lo cual $J_0(N)$ es isógena a un producto de curvas elípticas son $N\leq 21$ así como $ N = 25$ , $27$ , $33$ , $37$ , $45$ , $49$ , $57$ , $75$ , $99$ et $121$ . (Cuando $N\leq 9$ , $N=13$ et $N=25$ , $J_0(N)$ es cero).

Answer 2

De hecho, conocemos la lista de todo $N$ , ya sea par o impar, para lo cual $J_0(N)$ es isógena a un producto de curvas elípticas. Véase

Takuya Yamauchi, en $\mathbb Q$ -factores simples de variedades jacobianas de curvas modulares, Yokohama Math. J. 53 (2007), nº 2, 149-160.

Una prueba alternativa (que también corrige un pequeño error en la lista de Yamauchi) se ofrece en la sección 5 del reciente documento

Noam D. Elkies, Everett W. Howe y Christophe Ritzenthaler: Genus bounds for curves with fixed Frobenius eigenvalues, Proc. Amer. Math. Soc. 142 (2014), 71-84. arXiv: 1006.0822 .

Véase la página 82 de la versión en línea o la página 12 del preprint de arXiv.