¿Resultado de resolver un problema no resuelto?

Question

Sé que cuando se resolvieron algunos de los problemas no resueltos anteriormente se crearon nuevos campos en las matemáticas. Que alguien me explique cuál sería el resultado de la resolución de un problema mayor como la Conjetura de Hodge frente a un problema "menor" como "¿Existen los números cuasiperfectos?" en la sociedad actual.

Gracias de antemano.

Answer 1

La mayoría de las veces, el resultado real no es tan importante como la teoría. La razón por la que los problemas no se resuelven es porque, o bien la matemática no existe todavía, o bien no se ha establecido alguna conexión entre los campos actuales.

En cualquier caso, la creación de nuevas matemáticas y la conexión de las existentes son las verdaderas razones por las que es importante resolver los problemas abiertos.

Por ejemplo, si la palabra de Dios bajara y nos dijera que sí, que efectivamente la conjetura de Hodge es verdadera/falsa, sería bonito pero no tan rompedor como una prueba de la misma.

Answer 2

He aquí un teorema ( $P=NP$ ) que cambiaría el mundo si se demuestra que es cierto:

http://en.wikipedia.org/wiki/P_versus_NP_problem

Como dice la página de la wiki:

"Además de ser un problema importante en la teoría computacional, una prueba en cualquier sentido tendría profundas implicaciones para las matemáticas, la criptografía, la investigación de algoritmos, la inteligencia artificial, la teoría de juegos, el procesamiento multimedia, la filosofía, la economía y muchos otros campos."

Añado el siguiente comentario el 4 de mayo:

Estrictamente hablando, para cambiar el mundo no sólo necesitamos una prueba de que $P=NP$ Necesitamos una prueba constructiva que conduzca a algoritmos eficientes (es decir, prácticos). Así que, sin duda, si alguien demostrara $P=NP$ y demuestran que existe un algoritmo eficiente en tiempo polinómico, entonces esa persona habrá cambiado drásticamente el mundo.

Así que, independientemente de todas las calificaciones publicadas en respuesta a este hilo, la respuesta a la pregunta original sigue siendo afirmativa. Hay problemas matemáticos abiertos cuyas soluciones podrían cambiar el mundo si resultan ser ciertas y alguien consigue demostrarlas.

Answer 3

Estoy de acuerdo con @avid19 en que generalmente no es el resultados de las soluciones rompedoras que importan tanto como la forma en que abren nuevas formas de pensar y nuevas clases de problemas. No olvidemos que campos como la probabilidad y la combinatoria recibieron un gran impulso gracias a lo que hoy es un conjunto de simples problemas de juego abordados por Pascal y Fermat y otros. Toda nuestra forma de pensar se amplió, y el abanico de problemas que podíamos abordar se disparó... sobre todo a problemas que no se creían solubles. Puse el Teorema de los Cuatro Colores (que condujo a la teoría de los grafos), la Teoría de los Juegos de Nash, la teoría del caos y muchos otros dominios en esta clase.

Hay toda una serie de problemas para los que, sencillamente, aún no disponemos de matemáticas para abordarlos. Como trabajo en computación, mi ejemplo favorito es la conjetura de Collatz: Determine si el siguiente algoritmo para enteros mayores que 1 siempre termina en 1:

• Si $n$ es par, divídalo mi 2, de lo contrario calcule $3n + 1$ ; iterar.

Esto se ha verificado para $1 < n < 2^{62}$ y mi opinión personal es que efectivamente la función termina siempre en 1, pero ni yo ni nadie tiene idea de cómo demostrarlo. Paul Erdös dijo de este problema: "Puede que las matemáticas no estén preparadas para estos problemas".

Todavía no disponemos de las matemáticas adecuadas para describir y predecir una amplia gama de problemas y nos vemos reducidos a simular los procesos, como la dinámica de las nubes, la actividad neuronal específica en el cerebro, etc. Tal vez los nuevos conceptos que surjan al resolver la Conjetura de Collatz acaben conduciendo a esas ideas matemáticas.