Deje que $V$ ser un espacio vectorial de dimensión countably infinita sobre un campo $k$ y poner $R = \text {End}_k(V)$ . Entonces no es difícil ver que $R$ tiene un ideal único de dos caras que no es cero. $I$ que consiste en aquellos operadores con rango finito. Así que en particular $R/I$ es un simple anillo, pero estoy bastante seguro de que no es semisimple. ¿Cómo puedo mostrar esto? Sería suficiente para demostrar que $R/I$ no es artiniano.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Hay muchas maneras de ver esto. En $ \S 1.9.2$ de mi notas de álgebra no conmutativa Discuto el tema de la Número de base invariable propiedad de un anillo $R$ es decir, que el rango de un libre generado finamente (digamos izquierda ) $R$ -módulo es una invariante bien definida. Muestro lo siguiente:
1) El anillo $R = \operatorname {End}_k(V)$ no satisface al IBN. (Este es probablemente el ejemplo favorito de todos de un anillo que no satisface al IBN.)
2) Si $R$ es un anillo no satisfaciendo a IBN y $f: R \rightarrow S$ es cualquier (¡unital!) homomorfismo de anillo, entonces $S$ también lo hace no satisfacer a IBN. [Encontré esto muy contrario a la intuición y tuve que leerlo varias veces para creer que estaba declarado correctamente.] Por lo tanto, su simple anillo de cociente $R/I$ no satisface al IBN.
3) Un anillo noetheriano izquierdo satisface el IBN (y de hecho algo mucho más fuerte: la "condición de rango fuerte".)
4) (Akizuki-Hopkins) Un anillo Artiniano izquierdo es un Noetherian izquierdo.
Poner estos resultados juntos te da lo que quieres. Hay un exceso bastante sustancial aquí, pero quizás sea un exceso interesante. Por ejemplo, puedes evitar el paso 4: es tan fácil ver que un anillo semisimple debe ser noetheriano como ver que debe ser artiniano (Corolario 32 de mis notas), así que no es necesario invocar a Akizuki-Hopkins.
Me apresuro a añadir que tengo todo este material de las primeras páginas de T.Y. Lam Un primer curso de anillos no conmutables . Prueba el resultado que quieres varias veces, y algunas de las formas son más directas. Como todos los libros escritos por T.Y.Lam que he leído, viene con mi más alta recomendación.
Xetius
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Supongamos que $\{e_n:n \geq1\ }$ es una base de $V$ . Deje que $p_1$ , $p_2$ , $ \dots $ ser una enumeración de los números primos, y para cada uno de ellos $m \geq1 $ deja $S_m$ ser el subconjunto de $ \mathbb N$ de esos números naturales cuyos factores principales se encuentran entre $p_1$ , $ \dots $ , $p_m$ . Luego $S_1 \subsetneq S_2 \subsetneq S_3 \subsetneq\cdots $ es una secuencia creciente de conjuntos, cada uno de los cuales tiene infinitamente muchos más elementos que el que lo precede. Para cada uno de ellos $m \geq1 $ deja $W_m$ ser el lapso en $V$ de $\{e_i:i \in S_m\}$ y dejar que $J_m \subseteq R/I$ ser la imagen en $R/I$ de los elementos de $R$ cuya imagen está contenida en $W_m$ . Tenemos una secuencia creciente de ideales correctos $J_1 \subseteq J_2 \subseteq J_3 \subseteq\cdots $ ¿Puedes seguir?
