Entiendo que el número de elementos generados por sigma(A,B) es 16. Pero no soy capaz de encontrarlos todos.
Lo he encontrado: $A$ , $B$ , $A^c$ , $B^c$ , $A B$ , $A^c B^c$ , $A^c B^c$ el conjunto vacío, el espacio muestral, $A^c B$ , $A B^c$ , $A^c B$ , $A B^c$ , $A B$ . ¿Cuáles son los dos últimos?
Seamos sistemáticos: la sigma-álgebra más pequeña $\mathcal F$ que contiene $A$ y $B$ es generada por la partición $\{C_1,C_2,C_3,C_4\}$ con $$ C_1=A\setminus B,\quad C_2=B\setminus A,\quad C_3=A\cap B,\quad C_4=\Omega\setminus(A\cup B). $$ Por lo tanto, $\mathcal F=\{C_I\mid I\subseteq\{1,2,3,4\}\}$ donde, para cada $I\subseteq\{1,2,3,4\}$ , $C_I=\bigcup\limits_{i\in I}C_i$ (por ejemplo, $A=C_{\{1,3\}}$ y $B=C_{\{2,3\}}$ ). Por lo tanto, en el caso general (es decir, cuando ninguno de los $C_i$ está vacío), $\mathcal F$ tiene tamaño $2^4=16$ .
Asimismo, la menor álgebra sigma que contiene $n$ subconjuntos tiene, en el caso general, tamaño $2^{2^n}$ .
Una pista: Dibuja un diagrama de Venn donde $A$ y $B$ se cruzan. Debería haber cuatro regiones distintas $(A\cup B)^c$ , $A\cap B^c$ , $B\cap A^c$ y $A\cap B$ . Cada elemento del álgebra sigma es la unión de algunos de estos conjuntos. Como hay cuatro conjuntos y cada uno forma parte de la unión o no, se obtiene $2^4 = 16$ en particular, los dos que faltan en su lista.
La metodología general es la siguiente: Si $\mathcal{C}=\{A_1,A_2,\cdots\}$ es una clase de subconjuntos de un conjunto no vacío $\Omega$ , entonces construye los conjuntos $$B_{\epsilon}=\bigcap_{n}A_n^{\epsilon_n}$$ donde $\epsilon=(\epsilon_1,\epsilon_2)$ , $\epsilon_i\in\{0,1\}$ y $$A_i^{\epsilon_i}=\left\{\begin{array}{cc} A_i&&\mbox{if}~\epsilon_i=0\\ A_i^c&&\mbox{if}~\epsilon_i=1 \end{array}\right.$$ Dejemos que $\mathcal{D}=\{B_{\epsilon}:B_{\epsilon}\neq\phi\}$ . A continuación, tome todas las posibles uniones de los conjuntos en $\mathcal{D}$ . Esto le dará el campo generado por $\mathcal{C}$ . Si $\mathcal{C}$ es finito, entonces este es también el $\sigma$ -campo generado por $\mathcal{C}$ .
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