Convergencia débil en $L^2$ implica la limitación

Question

Dejemos que $f$ , $f_n \in L^2$ decimos que $f_n \rightharpoonup f$ converge débilmente en $L^2$ si

$$\lim_{n \to \infty} \langle (f_n-f),g \rangle_{L^2}=0\,\,\,\forall\,\,\, g \in L^2. $$

Sé que utilizando el principio de acotación uniforme (Teorema de Banach-Steinhaus) la secuencia $(\lVert f_n \rVert_2)$ está acotado.

Pero me gustaría saber una forma de demostrar esta limitación sin utilizar el principio de limitación uniforme. Dada la particularidad de la situación, creo que no es tan difícil, pero sin embargo todavía necesito ayuda, ¡gracias de antemano!

Pude demostrar, utilizando el teorema de representación de Riesz- Fréchet, que para cada funcional lineal $\varphi:L^2 \to \mathbb{R}$ la secuencia $(\varphi(f_n))_n$ está acotado. Existen algunos casos particulares de $\varphi \in L^2$ lo que implica la acotación de la secuencia $(\lVert f_n \rVert_2)$ ?

Daré la recompensa de 150 por una respuesta que detalle todos los pasos de mi respuesta, que es muy concisa .

Answer 1

Encontré la solución a mi problema en el libro La compacidad de la concentración por Kyril Tintarev y Karl - Heinz Fieseler . El teorema que resuelve el problema es el siguiente:

Teorema: Una secuencia $(u_n)$ en un espacio de Hilbert $H$ está acotado si y sólo si para cualquier $w \in H$ la secuencia $\langle w,u_n \rangle$ está acotado .

Prueba: ( $\implies$ ) Esto es una consecuencia inmediata de la desigualdad de Cauchy-Schwarz $|\langle w,u_n \rangle| \leq \lVert w \rVert \lVert u_n \rVert.$

( $\impliedby$ ) Para una secuencia no limitada $(u_n)$ construimos un vector $w \in H$ , tal que la secuencia $\langle w,u_n \rangle$ no tiene límites.

Podemos suponer $\lim_{n \to \infty} \lVert u_n\rVert=+\infty$ o incluso $\lVert u_n\rVert=4^n$ resp. $u_n=4^nv_n$ con vectores $v_n$ de longitud $1$ . En concreto, para cualquier $n \in \mathbb{N}$ hay un $k_n$ tal que $\lVert u_{k_n} \rVert \geq 4^n$ , a continuación, sustituya $u_n$ con la secuencia $û_n := 4^n \lVert u_{k_n} \rVert^{-1}u_{k_n}.$ Definimos $$w:=\sum_{k=1}^{\infty} \sigma_k 3^{-k}v_k$$ donde $\sigma_k=\pm 1$ se elige inductivamente: Tomamos $\sigma_1:=1$ y dado $\sigma_1,\dots, \sigma_{k-1}$ dejamos que $$\sigma_k := \text{sign} \left ( \sum_{i=1}^{k-1} \sigma_i 3^{-i} \langle v_i, v_k \rangle\right) $$ utilizando la convención $\text{sign(0)=1}$ . Ahora $$ \langle w,u_n \rangle=4^n\sum_{i=1}^{\infty} \sigma_i3^{-i}\langle v_i,v_n \rangle$$ y por lo tanto \begin{align*} |\langle w,u_n \rangle| &\geq 4^n \left(\left| \sum_{i=1}^{n} \sigma_i 3^{-i} \langle v_i,v_n \rangle \right|-\sum_{i=n+1}^{\infty} 3^{-i}|\langle v_i,v_n \rangle| \right)\\ &\geq \left( \frac{4}{3}\right)^n-4^n\left( \sum_{i=n+1}^{\infty} 3^{-i}\right)\\ &= \left( \frac{4}{3} \right)^n \left( 1-\frac{1}{3}\frac{1}{1-\frac{1}{3}}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{4}{3}\right)^n. \square \end{align*}

Corolario: Toda secuencia débilmente convergente en un espacio de Hilbert está acotada.