Derivar la función generadora: $\frac1{(1-x)^3}= \sum_{n=0}^\infty \binom{n+2}{2}x^n$

Question

$$\frac1{(1-x)^3} = \sum_{n=0}^\infty \binom{n+2}2x^n$$

No sé cómo empezar.

$$\begin{aligned}\frac1{1-x}&= \sum_{n=0}^{\infty} x^n\\\frac1{(1-x)^2}&=\sum_{n=0}^{\infty} nx^{n-1}\end{aligned}$$

Entonces, lo conseguirías:

$$\frac{1}{(1-x)^3} = \sum_{n=0}^{\infty} nx^{2n - 1}$$

Que no es ni de lejos lo mismo...

Answer 1

Obsérvese que, efectivamente, $\dfrac 1 {1-x} = \sum \limits _{n=0} ^\infty x^n$ . Como has intentado hacer, vamos a diferenciar esto dos veces. La primera vez se obtiene

$$\frac 1 {(1-x)^2} = \sum \limits _{n=1} ^\infty n x^{n-1}$$

(nótese que la suma parte de $1$ ahora, no de $0$ ). Diferenciando una vez más, se obtiene

$$\frac 2 {(1-x)^3} = \sum \limits _{n=2} ^\infty n(n-1) x^{n-2}$$

y, si se cambia la variable de suma según $m = n-2$ , se obtiene

$$\frac 2 {(1-x)^3} = \sum \limits _{m=0} ^\infty (m+2)(m+1) x^m\;,$$

que es su resultado deseado porque

$$\binom {m+2} 2 = \frac {(m+2)!} {m! \ 2!} = \frac {(m+2)(m+1)} 2\;.$$

Answer 2

Toma la derivada de ambos lados

$$\frac{d}{dx} \left (\frac{1}{(1-x)^2} \right) = \frac{d}{dx} \left ( \sum_{n=0}^{\infty} n x^{n-1} \right)$$

$$-(-2)\frac{1}{(1-x)^3} = \sum_{n=0}^{\infty} n (n-1) x^{n-2}$$

$$\frac{1}{(1-x)^3} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n (n-1)}{2} x^{n-2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n +2) (n+1)}{2} x^{n}.$$

Mira la definición del coeficiente binomial y verás que es la misma que la fórmula deseada.

Answer 3

Demostraremos que, para todos los $k\geq 0$ :

$$\frac{1}{(1-x)^{k+1}} = \sum_{n\geq 0} \binom{n+k}{k}x^n$$

Para $k=0$ Esto está claro (y si somos inteligentes, podemos incluso empezar por $k=-1$ ). Lo tenemos:

$$\frac{1}{(1-x)^{k+2}} = \frac{1}{1-x} \cdot \frac{1}{(1-x)^{k+1}} = \left(\sum_{n\geq 0} x^n\right)\left(\sum_{n\geq 0} \binom{n+k}{k}x^n\right)$$

$$= \sum_{n\geq 0} \left(\sum_{j=0}^n \binom{j+k}{k}\right) x^n$$

Así que basta con mostrarlo: $$\sum_{j=0}^n \binom{j+k}{k} = \binom{n+k+1}{k+1}$$

Pero esto se deduce de una inducción directa sobre $n$ , utilizando sólo la adición en el triángulo de Pascal. También podemos hacer esta suma directamente, utilizando el telescopio:

$$\binom{j+k}{k} = \binom{j+k+1}{k+1} - \binom{j+k}{k+1}$$

Answer 4

También es conveniente utilizar el _expansión de la serie binomial_ .

Obtenemos \begin{align*} \frac{1}{(1-x)^3}&= \sum_{n=0}^\infty \binom{-3}{n}(-x)^n\\ &=\sum_{n=0}^\infty \binom{n+2}{2}x^n \end{align*}

Aquí utilizamos $\binom{-r}{s}=\binom{r+s-1}{s}(-1)^s=\binom{r+s-1}{r-1}(-1)^s$