El $\mathbb C((z))$ -puntos racionales de un grupo complejo semisimple $G$

Question

Por definición, si $R$ es un $\mathbb C$ -y el álgebra $G$ es un $\mathbb C$ -entonces el conjunto de $R$ -puntos valorados en $G$ es $G(R)=\hom_{\text{Sch}_{\mathbb C}}(\operatorname{Spec} R, G)$

En el documento de Ginzburg Esquilas perversas en un grupo de bucles y la dualidad de Langlands, se hace la siguiente declaración (parafraseada):

Si $G$ es un grupo complejo semisimple y $\mathbb K = \mathbb C((z))$ una elección de incrustación $G \hookrightarrow GL_n$ presenta $G(\mathbb K)$ como un subgrupo de $\mathbb K$ -valorado $n\times n$ matrices y el grupo $G(\mathbb C[z,z^{-1}])$ como el grupo de mapas $$f(z)= \sum_{i=-m}^m A_i z^i$$ donde el $A_i$ son $n\times n$ matrices y $f(z) \in G(\mathbb C)$ para todos $z \in \mathbb C^\times$ .

Creo que entiendo la segunda afirmación sobre $G(\mathbb C[z,z^{-1}])$ pero requirió el uso de la equivalencia de la categoría de esquemas afines integrales de tipo finito sobre $\mathbb C$ con la categoría de variedades afines. Puede que no sea la mejor manera de tratar este tema, pero no conozco otra forma de caracterizar bien esos morfismos de esquema. Desgraciadamente, $G(\mathbb K)$ no es susceptible de este enfoque porque no es de tipo finito. (Edición: Con esto me refiero a $\mathbb K$ no es de tipo finito).

¿Cómo realizamos la primera afirmación respecto a $G(\mathbb K)$ ?

La incrustación (¿cerrada?) $G \hookrightarrow GL_n$ debe darse cuenta $G$ como un subesquema cerrado de $GL_n$ para que estemos viendo $G(\mathbb K) \subseteq GL_n(\mathbb K)$ . A pesar de la nomenclatura " $\mathbb K$ -puntos valorados de $G$ ( $GL_n$ )" sugiriendo que la respuesta debería ser la que es, no entiendo la convención de nombres, ni cómo verla directamente. Cualquier idea sería muy apreciada.

Edición: A ver si puedo aclarar dónde creo que se produce mi problema. Dejemos que $G$ sea un grupo algebraico lineal semisimple (liso). Por lo que veo, tenemos tres formas de pensar en $G$ : como un colector, como un esquema en términos del espectro de un álgebra, y como un esquema de grupo dado por un functor de puntos.

1. Dada una incrustación $G \hookrightarrow GL_n(\mathbb C)$ (como, por ejemplo, los colectores), ¿cómo se corresponde esto con una incrustación $G \hookrightarrow GL_n$ como esquemas de grupos afines (pensados como funtores de puntos)? ¿Acaso $G \hookrightarrow GL_n(\mathbb C)$ corresponden a algún mapa sobre puntos cerrados $G(\mathbb C) \hookrightarrow GL_n(\mathbb C)$ que se eleva a un mapa de esquemas de grupos afines?
2. Tomando como definición $GL_n(\mathbb C) = \operatorname{Spec}(\mathbb C[x_{ij}]_{i,j=1}^{n+1}/(\det \cdot y -1) )$ y $R$ a $k$ -puede recuperarse el functor $GL_n: \text{Alg}_k \to \text{Grp}, R \mapsto GL_n(R)$ de esto?

Yo diría que realmente estoy teniendo problemas para conciliar todas las diferentes formas de pensar de $G$ (o $GL_n$ ).

Answer 1

No estoy seguro de entender lo que se pide. Una inmersión cerrada $j:G\hookrightarrow\mathrm{GL}_n$ de $\mathbf{C}$ -para cualquier $\mathbf{C}$ -Álgebra $R$ un homomorfismo inyectivo $G(R)\rightarrow\mathrm{GL}_n(R)$ . Explícitamente este mapa envía un $R$ -punto $g:\mathrm{Spec}(R)\rightarrow G$ al compuesto $j\circ g:\mathrm{Spec}(R)\rightarrow\mathrm{GL}_n$ . El mapa es inyectivo porque las inmersiones cerradas son monomorfismos.

Tenga en cuenta que, para cualquier $\mathbf{C}$ -Álgebra $R$ , $\mathrm{GL}_n(R)=\mathrm{GL}_{n/R}(R)$ donde el subíndice $R$ denota el cambio de base a lo largo de $\mathbf{C}\rightarrow R$ . Esto es cierto independientemente de que $R$ es de tipo finito sobre $\mathbf{C}$ .