Es un " $\aleph_0$ -¿"Límite" un límite finito o un límite pequeño?

Question

Estoy seguro de que es una pregunta muy trivial. Pero no sé nada de cardenales, y el nLab está lleno de ellos. Sólo quiero saber cómo interpretar una declaración de la forma

" $\mathcal{C}$ tiene $\kappa$ -límites, donde $\kappa$ es un cardenal regular".

Si conecto $\kappa=\aleph_0$ ¿significa la frase anterior que $\mathcal{C}$ tiene límites finitos o que es completa? Si significa lo segundo, ¿se puede obtener la noción de límites finitos a partir de esta notación cardinal?

Answer 1

Es convencional decir que una categoría es $\kappa$ -pequeño si tiene $<\kappa$ (objetos y) morfismos.

Así que $\aleph_0$ -pequeño significa finito, ya que cualquier cosa estrictamente menor que $|\Bbb N|$ es finito.
Y por lo tanto un $\aleph_0$ -ya que es un límite sobre un diagrama cuyo dominio es un $\aleph_0$ -categoría pequeña, recupera precisamente la noción de límites finitos.