Las curvas del género uno son curvas planas cúbicas (prueba de la duda)

Question

He estado leyendo el libro de Rick Miranda sobre curvas algebraicas y superficies de Riemann y hay una proposición cuya demostración no entiendo del todo.

La proposición afirma que las curvas de género uno son curvas planas cúbicas.

La prueba es la siguiente: Si $X$ es una curva algebraica y tenemos un divisor de grado $3$ este divisor es muy amplio y así $dimL(D)=3$ si $deg(D)=3$ utilizando Riemann-Roch, vemos que $\phi_D$ mapa de la voluntad $X$ a $\mathbb{P}^2$ . Desde $deg(D)=3$ el divisor del hiperplano tendrá grado $3$ y así la imagen es una curva cúbica.

Ahora consigo que el grado de la curva proyectiva suave $Y=\phi(X)$ será $3$ Pero, ¿cómo sabe que se trata de una curva plana? Sólo sabemos que $\phi_D$ da una incrustación, no conocemos más estructura adicional a la Superficie de Riemann. ¿Cuál es la parte que me falta? Gracias de antemano.

Answer 1

Como dices arriba, $\phi(X)$ está integrado en $\mathbb{P}^2$ , lo que la convierte en una curva plana suave. Debo mencionar que una curva proyectiva suave en $\mathbb{P}^2$ se denomina "suave". avión curva, por una cuestión de terminología. Creo que esto es todo lo que afirma Miranda, pero citando algunos teoremas podemos decir un poco más.

Tenemos una subvariedad analítica (a priori) de $\mathbb{P}^2$ dado por $\phi(X)=Y$ . Utilizando el Teorema de Chow podemos concluir que $Y$ es realmente algebraico. Por lo tanto, $Y=Z(f_1,\ldots, f_r)$ pour $f_1,\ldots, f_r\in \mathbb{C}[x,y,z]$ polinomios homogéneos. Sin embargo, una versión del Hauptidealsatz del álgebra conmutativa implica ahora que $Y=Z(f)$ es decir, se recorta con un único polinomio homogéneo. Por un resultado sobre el grado (encontrado en Miranda), sabemos que si $Y=Z(f)$ y $Y$ es de grado $3$ entonces $\deg(f)=3$ . Por lo tanto, se deduce que $Y$ se recorta en un solo grado $3$ ecuación, $f(x,y,z)\in \mathbb{C}[x,y,z]$ .