¿por qué se llaman así las relaciones de equivalencia?

Question

"una relación de equivalencia es la relación que se da entre dos elementos si y sólo si son miembros de la misma celda dentro de un conjunto que ha sido dividido en celdas de manera que cada elemento del conjunto es miembro de una y sólo una celda de la partición.

Una relación binaria dada ~ sobre un conjunto X se dice que es una relación de equivalencia si y sólo si es reflexiva, simétrica y transitiva. Equivalentemente, para todo a, b y c en X a ~ a. (Reflexividad) si a ~ b entonces b ~ a. (Simetría) si a ~ b y b ~ c entonces a ~ c. (Transitividad) "

Pero ¿Por qué se llaman así las relaciones de "equivalencia"?

Answer 1

La palabra "equivalente" se construye a partir de "igual" y "valor" - bueno, en realidad de las palabras latinas aequus (igual) y valere (valer). Así pues, dos elementos son equivalentes si en cierto sentido tienen el mismo valor, o son intercambiables. A menudo esto se utiliza literalmente, definiendo algunas cantidades como clases de equivalencia; por ejemplo, la fracción $\frac42$ tiene el mismo valor que (es equivalente a) la fracción $\frac21$ .

Ahora las propiedades de una relación de equivalencia se pueden obtener directamente de esa interpretación de la palabra:

• Es evidente que algún objeto tiene que tener el mismo valor que él mismo; así, cualquier relación de equivalencia cumple $a\sim a$ para todos $a$ (reflexividad).
• Así de claro, si $a$ tiene el mismo valor que $b$ entonces $b$ tiene el mismo valor que $a$ . Es decir $a\sim b\implies b\sim a$ (simetría).
• Y por supuesto, si $a$ tiene el mismo valor que $b$ y $b$ tiene el mismo valor que $c$ entonces $a$ tiene el mismo valor que $c$ Es decir $a\sim b\land b\sim c\implies a\sim c$ (transitividad).

Puedes notar que en la lista anterior, al final he utilizado exactamente las mismas propiedades de igualdad. Esto no es accidental; la igualdad es en cierto modo el prototipo de una relación de equivalencia.

O, en pocas palabras, una relación de equivalencia describe una noción más general de "igualdad".

Answer 2

Supongo que es porque dividen el conjunto en conjuntos más pequeños, a veces llamados clases de equivalencia. La idea es que los elementos de cada una de estas clases son todos equivalentes (cuando se miran de una manera específica).

Por ejemplo, consideremos la relación $a\sim b$ si y sólo si $b-a$ es un múltiplo de $n$ . Se trata de una relación de equivalencia y divide los enteros en clases de equivalencia. En este caso decimos que los elementos de cada clase son todos equivalentes porque todos dan el mismo residuo cuando dividimos por $n$ Así, si tenemos una expresión y sólo queremos calcular el residuo al dividir esa expresión por $n$ entonces podemos intercambiar algunos de los elementos de la expresión por elementos "equivalentes" y esto no alterará nuestro resultado.