¿Integración compleja con el FTC?

Question

¿Cómo se integraría para mostrar $$\int_{\partial B(1,2)} \frac{1}{(z-2)^3}dz = 0$$ donde $B(1,2)$ es una bola de centro 1 y radio 2 en el plano complejo. Aparentemente se supone que se usa el FTC pero no veo cómo usar el FTC en el plano complejo?

Gracias.

Answer 1

Primera vía : Utilizando la fórmula de diferenciación de Cauchy $$f^{(n)}(a)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\,dz$$ conseguimos que $$\oint_{|z-1|=2}\frac{1}{(z-2)^3}\,dz=\left.\frac{2\pi i}{2!}\,\frac{\mathcal d^2}{\mathcal d z^2}(1)\,\,\right|_{z=2}=0$$

Segunda vía : Hacer primero la traducción $\,z\to z+1\,$ tomamos el círculo de radio $\,2\,$ centrado en el origen y $\,(z-1)^3\,$ en el denominador, obteniendo $$I:=\oint_{|z|=2}\frac{1}{(z-1)^3}\,dz$$

Ahora, ponemos $\,z=2e^{i\theta}\,\,,\,0\leq\theta\leq 2\pi\Longrightarrow dz=2ie^{i\theta}\,$ , por lo que obtenemos $$I=\int_0^{2\pi}\frac{2ie^{i\theta}d\theta}{\left(2e^{i\theta}-1\right)^3}=\int_0^{2\pi}\frac{(2e^{i\theta})}{\left(2e^{i\theta}-1\right)^3}=\left.-\frac{1}{2}\frac{1}{(2e^{i\theta}-1)^2}\right|_0^{2\pi}=$$ $$=-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{(2-1)^2}-\frac{1}{(2-1)^2}\right)=0$$

Answer 2

Se nos dice que calculemos la integral dada $Q$ sin las ventajas del teorema de Cauchy. El círculo en cuestión puede parametrizarse como $$\gamma:\quad \phi\mapsto 1+2e^{i\phi}\qquad(0\leq\phi\leq2\pi)\ ,$$ que da $dz=2i\,e^{i\phi}\,d\phi$ . Por lo tanto, tenemos $$Q=\int_0^{2\pi}{2i e^{i\phi}\over \bigl(2e^{i\phi}-1\bigr)^3}\ d\phi\ .\qquad(*)$$ Obsérvese que el denominador de la última integral es $\ne0$ en todo.

La función ${1\over(z-2)^3}$ que aparece en la definición de $Q$ tiene una primitiva, a saber $-{1\over 2(z-2)^2}$ . En consecuencia, la función compleja de la variable real $\phi$ que aparece en $(*)$ también tiene una primitiva simple. De hecho, se puede comprobar fácilmente que $$Q=-{1\over2\bigl(2e^{i\phi}-1\bigr)^2}\Biggr|_0^{2\pi}\ ,$$ y como $e^{i\phi}$ asume el mismo valor en $0$ y en $2\pi$ la diferencia en el lado derecho es $0$ .

Answer 3

La vía de la FTC: $$\frac{1}{(z-2)^3} = \frac{d}{dz} \frac{-1}{2(z-2)^2}$$ en cualquier parte de la curva, así que para obtener el valor de la integral a lo largo de la curva, evalúe $-1/(2(z-2)^2))$ en los dos puntos finales y restar. Por supuesto, si es una curva cerrada, esa diferencia es cero.

Answer 4

Nadie ha mencionado los residuos, así que también lo haré.

Dejemos que $w=z-2$ y la integral se convierte en $$\oint_{\partial B(-1,2)}\frac{1}{w^3}\,\mathrm{d}w$$ El coeficiente del $\dfrac1w$ en la serie de Laurent es $0$ por lo que el residuo en la singularidad en $w=0$ es $0$ aunque el camino de la integración, $|w+1|=2$ , lo rodea. Así, $$\oint_{\partial B(1,2)}\frac{1}{(z-2)^3}\,\mathrm{d}z=0$$