Tienes razón sobre el límite de la secuencia $a_n=\frac{2n}{3n+1}$ .
De hecho, tenemos que $\lim_{n\to\infty} a_n=\frac23$
Hay varias formas de demostrarlo. Si conoces los teoremas de límite, puedes usarlos así:
Es $\frac{2n}{3n+1}=\frac{2}{3+\frac1n}$ . Ahora el numerador cubre obviamente contra $2$ y el denominador converge contra $3$ . Así que la fracción converge contra $\frac23$ .
Un otro sería heterosexual por definición:
$\forall\varepsilon >0\exists N\in\mathbb{N}$ de manera que para cada $n\geq N$ sostiene que $|a_n-\frac23|<\varepsilon$ .
'Sketch':
Dejemos que $\varepsilon >0$ sea arbitraria. Tenemos que encontrar $N$ .
Es $|a_n-\frac23|=|\frac{2n}{3n+1}-\frac23|=|\frac{6n-6n-2}{3(3n+1)}|=\frac{2}{3(3n+1)}<\frac{1}{3n+1}<\frac1n<\frac1N$ .
Si elegimos $N=\lceil \frac1\varepsilon\rceil$ podríamos concluir la prueba.
Para b):
Como se menciona en los comentarios una serie sólo puede converger si se toma la suma sobre una secuencia nula. Si la secuencia no es una secuencia nula, la serie no puede converger.
Sin embargo si tienes una secuencia nula no es seguro que la serie converja también. El contraejemplo estándar es:
$\sum_{k=1}^\infty \frac1k$
la serie armónica, ¡que no converge!
