¿Qué significa decir que la media armónica es una media no lagrangiana?

Question

A artículo de Grabisch et al (2011) afirma que las medias aritmética y geométrica son medias lagrangianas mientras que la media armónica no es lagrangiana.

¿Qué significa esto? ¿Qué propiedades tiene una media lagrangiana y qué propiedades tienen las medias no lagrangianas?

Referencias

• Michel Grabisch, Jean-Luc Marichal, Radko Mesiar, Endre Pap. Funciones de agregación: Medios. Information Sciences, Elsevier, 2011, 181 (1), pp.1-22. <10.1016/j.ins.2010.08.043>.

Answer 1

Hojeando el documento, vemos que la definición 27 define la media lagrangiana asociada a una función continua y estrictamente monótona dada $f$ en el intervalo de la unidad.

En otros lugares, la media geométrica y aritmética se identifican como lagrangianas. Es decir, hay funciones $f_g$ y $f_a$ tal que la media geométrica y aritmética son exactamente las medias lagrangianas asociadas a $f_g$ y $f_a$ en el sentido de la definición 27.

Por el contrario, se afirma que la media armónica no es lagrangiana. Esto significa que hay no dicha función $f_h$ tal que la media armónica es la media lagrangiana asociada a $f_h$ .

Ahora probablemente sería un buen ejercicio para ti demostrar cuidadosamente estas tres afirmaciones. Dado que no se demuestran explícitamente en el documento, supongo que no son muy difíciles de demostrar.